Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37205 / 26806
↖ ↑ ↗
← N 31.099982°
E 24.373169°		 ← 523 m → N 31.099982°
E 24.378662°		 →
↑
523.06 m
↓
↑
523.06 m
↓
N 31.095278°
E 24.373169°		 ← 523.02 m →
273 565 m²		 N 31.095278°
E 24.378662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567710876464844 y=0.409034729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567710876464844 × 216)
    floor (0.567710876464844 × 65536)
    floor (37205.5)     		tx = 37205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409034729003906 × 216)
    floor (0.409034729003906 × 65536)
    floor (26806.5)     		ty = 26806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37205 / 26806 ti = "16/37205/26806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37205/26806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37205 ÷ 216
    37205 ÷ 65536     		x = 0.567703247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26806 ÷ 216
    26806 ÷ 65536     		y = 0.409027099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567703247070312 × 2 - 1) × π
    0.135406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42539205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409027099609375 × 2 - 1) × π
    0.18194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.57159959106955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42539205} λ = 0.42539205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57159959106955))-π/2
    2×atan(1.7710978190495)-π/2
    2×1.05679670319606-π/2
    2.11359340639213-1.57079632675     		φ = 0.54279708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42539205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.373169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54279708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.099982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37205 KachelY 26806 0.42539205 0.54279708 24.373169 31.099982
    Oben rechts KachelX + 1 37206 KachelY 26806 0.42548792 0.54279708 24.378662 31.099982
    Unten links KachelX 37205 KachelY + 1 26807 0.42539205 0.54271498 24.373169 31.095278
    Unten rechts KachelX + 1 37206 KachelY + 1 26807 0.42548792 0.54271498 24.378662 31.095278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54279708-0.54271498) × R
    8.21000000000849e-05 × 6371000     		dl = 523.059100000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54279708-0.54271498) × R
    8.21000000000849e-05 × 6371000     		dr = 523.059100000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42539205-0.42548792) × cos(0.54279708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85626724853259 × 6371000     		do = 522.997563255245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42539205-0.42548792) × cos(0.54271498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856309653010735 × 6371000     		du = 523.023463391889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54279708)-sin(0.54271498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85626724853259-0.856309653010735)×R²
    abs(0.42548792-0.42539205)×4.2404478145186e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2404478145186e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2404478145186e-05×40589641000000     		ar = 273565.408543563m²