Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37204 / 30658
↖ ↑ ↗
← N 11.512322°
E 24.367676°		 ← 598.56 m → N 11.512322°
E 24.373169°		 →
↑
598.56 m
↓
↑
598.56 m
↓
N 11.506939°
E 24.367676°		 ← 598.57 m →
358 276 m²		 N 11.506939°
E 24.373169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567695617675781 y=0.467811584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567695617675781 × 216)
    floor (0.567695617675781 × 65536)
    floor (37204.5)     		tx = 37204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467811584472656 × 216)
    floor (0.467811584472656 × 65536)
    floor (30658.5)     		ty = 30658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37204 / 30658 ti = "16/37204/30658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37204/30658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37204 ÷ 216
    37204 ÷ 65536     		x = 0.56768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30658 ÷ 216
    30658 ÷ 65536     		y = 0.467803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56768798828125 × 2 - 1) × π
    0.1353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42529617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467803955078125 × 2 - 1) × π
    0.06439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.202293716396637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42529617} λ = 0.42529617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202293716396637))-π/2
    2×atan(1.22420752513377)-π/2
    2×0.88586212869645-π/2
    1.7717242573929-1.57079632675     		φ = 0.20092793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42529617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.367676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20092793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.512322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37204 KachelY 30658 0.42529617 0.20092793 24.367676 11.512322
    Oben rechts KachelX + 1 37205 KachelY 30658 0.42539205 0.20092793 24.373169 11.512322
    Unten links KachelX 37204 KachelY + 1 30659 0.42529617 0.20083398 24.367676 11.506939
    Unten rechts KachelX + 1 37205 KachelY + 1 30659 0.42539205 0.20083398 24.373169 11.506939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20092793-0.20083398) × R
    9.39500000000093e-05 × 6371000     		dl = 598.555450000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20092793-0.20083398) × R
    9.39500000000093e-05 × 6371000     		dr = 598.555450000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42529617-0.42539205) × cos(0.20092793) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.979881804690438 × 6371000     		do = 598.562250620526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42529617-0.42539205) × cos(0.20083398) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.979900550782724 × 6371000     		du = 598.573701698743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20092793)-sin(0.20083398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979881804690438-0.979900550782724)×R²
    abs(0.42539205-0.42529617)×1.87460922861371e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.87460922861371e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.87460922861371e-05×40589641000000     		ar = 358276.124589355m²