Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37204 / 26700
↖ ↑ ↗
← N 31.597252°
E 24.367676°		 ← 520.29 m → N 31.597252°
E 24.373169°		 →
↑
520.26 m
↓
↑
520.26 m
↓
N 31.592574°
E 24.367676°		 ← 520.32 m →
270 693 m²		 N 31.592574°
E 24.373169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567695617675781 y=0.407417297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567695617675781 × 216)
    floor (0.567695617675781 × 65536)
    floor (37204.5)     		tx = 37204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407417297363281 × 216)
    floor (0.407417297363281 × 65536)
    floor (26700.5)     		ty = 26700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37204 / 26700 ti = "16/37204/26700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37204/26700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37204 ÷ 216
    37204 ÷ 65536     		x = 0.56768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26700 ÷ 216
    26700 ÷ 65536     		y = 0.40740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56768798828125 × 2 - 1) × π
    0.1353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42529617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40740966796875 × 2 - 1) × π
    0.1851806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.581762213789002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42529617} λ = 0.42529617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581762213789002))-π/2
    2×atan(1.78918858710971)-π/2
    2×1.06113620928336-π/2
    2.12227241856673-1.57079632675     		φ = 0.55147609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42529617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.367676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55147609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.597252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37204 KachelY 26700 0.42529617 0.55147609 24.367676 31.597252
    Oben rechts KachelX + 1 37205 KachelY 26700 0.42539205 0.55147609 24.373169 31.597252
    Unten links KachelX 37204 KachelY + 1 26701 0.42529617 0.55139443 24.367676 31.592574
    Unten rechts KachelX + 1 37205 KachelY + 1 26701 0.42539205 0.55139443 24.373169 31.592574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55147609-0.55139443) × R
    8.16599999999834e-05 × 6371000     		dl = 520.255859999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55147609-0.55139443) × R
    8.16599999999834e-05 × 6371000     		dr = 520.255859999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42529617-0.42539205) × cos(0.55147609) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.851752060190113 × 6371000     		do = 520.294006560441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42529617-0.42539205) × cos(0.55139443) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.851794842703933 × 6371000     		du = 520.320140322326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55147609)-sin(0.55139443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851752060190113-0.851794842703933)×R²
    abs(0.42539205-0.42529617)×4.2782513820061e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.2782513820061e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.2782513820061e-05×40589641000000     		ar = 270692.80410782m²