Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37203 / 27707
↖ ↑ ↗
← N 26.770135°
E 24.362183°		 ← 545.32 m → N 26.770135°
E 24.367676°		 →
↑
545.36 m
↓
↑
545.36 m
↓
N 26.765231°
E 24.362183°		 ← 545.35 m →
297 403 m²		 N 26.765231°
E 24.367676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567680358886719 y=0.422782897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567680358886719 × 216)
    floor (0.567680358886719 × 65536)
    floor (37203.5)     		tx = 37203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422782897949219 × 216)
    floor (0.422782897949219 × 65536)
    floor (27707.5)     		ty = 27707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37203 / 27707 ti = "16/37203/27707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37203/27707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37203 ÷ 216
    37203 ÷ 65536     		x = 0.567672729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27707 ÷ 216
    27707 ÷ 65536     		y = 0.422775268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567672729492188 × 2 - 1) × π
    0.135345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42520030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422775268554688 × 2 - 1) × π
    0.154449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.485217297954208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42520030} λ = 0.42520030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485217297954208))-π/2
    2×atan(1.62452797709918)-π/2
    2×1.01901166258564-π/2
    2.03802332517127-1.57079632675     		φ = 0.46722700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42520030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.362183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46722700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.770135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37203 KachelY 27707 0.42520030 0.46722700 24.362183 26.770135
    Oben rechts KachelX + 1 37204 KachelY 27707 0.42529617 0.46722700 24.367676 26.770135
    Unten links KachelX 37203 KachelY + 1 27708 0.42520030 0.46714140 24.362183 26.765231
    Unten rechts KachelX + 1 37204 KachelY + 1 27708 0.42529617 0.46714140 24.367676 26.765231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46722700-0.46714140) × R
    8.5600000000019e-05 × 6371000     		dl = 545.357600000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46722700-0.46714140) × R
    8.5600000000019e-05 × 6371000     		dr = 545.357600000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42520030-0.42529617) × cos(0.46722700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892820712387291 × 6371000     		do = 545.323971928833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42520030-0.42529617) × cos(0.46714140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89285926440299 × 6371000     		du = 545.34751902853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46722700)-sin(0.46714140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892820712387291-0.89285926440299)×R²
    abs(0.42529617-0.42520030)×3.85520156983565e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85520156983565e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85520156983565e-05×40589641000000     		ar = 297402.993530227m²