Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37203 / 26849
↖ ↑ ↗
← N 30.897511°
E 24.362183°		 ← 524.11 m → N 30.897511°
E 24.367676°		 →
↑
524.14 m
↓
↑
524.14 m
↓
N 30.892797°
E 24.362183°		 ← 524.13 m →
274 714 m²		 N 30.892797°
E 24.367676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567680358886719 y=0.409690856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567680358886719 × 216)
    floor (0.567680358886719 × 65536)
    floor (37203.5)     		tx = 37203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409690856933594 × 216)
    floor (0.409690856933594 × 65536)
    floor (26849.5)     		ty = 26849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37203 / 26849 ti = "16/37203/26849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37203/26849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37203 ÷ 216
    37203 ÷ 65536     		x = 0.567672729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26849 ÷ 216
    26849 ÷ 65536     		y = 0.409683227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567672729492188 × 2 - 1) × π
    0.135345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42520030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409683227539062 × 2 - 1) × π
    0.180633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.567477017702225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42520030} λ = 0.42520030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.567477017702225))-π/2
    2×atan(1.76381136813381)-π/2
    2×1.05502981401071-π/2
    2.11005962802142-1.57079632675     		φ = 0.53926330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42520030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.362183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53926330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.897511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37203 KachelY 26849 0.42520030 0.53926330 24.362183 30.897511
    Oben rechts KachelX + 1 37204 KachelY 26849 0.42529617 0.53926330 24.367676 30.897511
    Unten links KachelX 37203 KachelY + 1 26850 0.42520030 0.53918103 24.362183 30.892797
    Unten rechts KachelX + 1 37204 KachelY + 1 26850 0.42529617 0.53918103 24.367676 30.892797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53926330-0.53918103) × R
    8.22700000000509e-05 × 6371000     		dl = 524.142170000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53926330-0.53918103) × R
    8.22700000000509e-05 × 6371000     		dr = 524.142170000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42520030-0.42529617) × cos(0.53926330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858087212563842 × 6371000     		do = 524.109175027374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42520030-0.42529617) × cos(0.53918103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858129455632163 × 6371000     		du = 524.134976576871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53926330)-sin(0.53918103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858087212563842-0.858129455632163)×R²
    abs(0.42529617-0.42520030)×4.22430683209019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22430683209019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22430683209019e-05×40589641000000     		ar = 274714.482311139m²