Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37202 / 26811
↖ ↑ ↗
← N 31.076461°
E 24.356690°		 ← 523.13 m → N 31.076461°
E 24.362183°		 →
↑
523.19 m
↓
↑
523.19 m
↓
N 31.071756°
E 24.356690°		 ← 523.15 m →
273 700 m²		 N 31.071756°
E 24.362183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567665100097656 y=0.409111022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567665100097656 × 216)
    floor (0.567665100097656 × 65536)
    floor (37202.5)     		tx = 37202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409111022949219 × 216)
    floor (0.409111022949219 × 65536)
    floor (26811.5)     		ty = 26811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37202 / 26811 ti = "16/37202/26811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37202/26811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37202 ÷ 216
    37202 ÷ 65536     		x = 0.567657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26811 ÷ 216
    26811 ÷ 65536     		y = 0.409103393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567657470703125 × 2 - 1) × π
    0.13531494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42510443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409103393554688 × 2 - 1) × π
    0.181793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.571120222073349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42510443} λ = 0.42510443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.571120222073349))-π/2
    2×atan(1.77024901312768)-π/2
    2×1.05659144380499-π/2
    2.11318288760998-1.57079632675     		φ = 0.54238656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42510443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.356690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54238656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.076461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37202 KachelY 26811 0.42510443 0.54238656 24.356690 31.076461
    Oben rechts KachelX + 1 37203 KachelY 26811 0.42520030 0.54238656 24.362183 31.076461
    Unten links KachelX 37202 KachelY + 1 26812 0.42510443 0.54230444 24.356690 31.071756
    Unten rechts KachelX + 1 37203 KachelY + 1 26812 0.42520030 0.54230444 24.362183 31.071756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54238656-0.54230444) × R
    8.21199999999633e-05 × 6371000     		dl = 523.186519999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54238656-0.54230444) × R
    8.21199999999633e-05 × 6371000     		dr = 523.186519999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42510443-0.42520030) × cos(0.54238656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856479223525307 × 6371000     		do = 523.127034988342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42510443-0.42520030) × cos(0.54230444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856521609462021 × 6371000     		du = 523.152923800107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54238656)-sin(0.54230444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856479223525307-0.856521609462021)×R²
    abs(0.42520030-0.42510443)×4.23859367140178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23859367140178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23859367140178e-05×40589641000000     		ar = 273699.785445939m²