Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37201 / 39002
↖ ↑ ↗
← S 32.370683°
E 24.351196°		 ← 515.93 m → S 32.370683°
E 24.356690°		 →
↑
515.86 m
↓
↑
515.86 m
↓
S 32.375322°
E 24.351196°		 ← 515.90 m →
266 139 m²		 S 32.375322°
E 24.356690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567649841308594 y=0.595130920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567649841308594 × 216)
    floor (0.567649841308594 × 65536)
    floor (37201.5)     		tx = 37201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595130920410156 × 216)
    floor (0.595130920410156 × 65536)
    floor (39002.5)     		ty = 39002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37201 / 39002 ti = "16/37201/39002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37201/39002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37201 ÷ 216
    37201 ÷ 65536     		x = 0.567642211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39002 ÷ 216
    39002 ÷ 65536     		y = 0.595123291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567642211914062 × 2 - 1) × π
    0.135284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42500855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.19024658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.59767726446286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42500855} λ = 0.42500855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.59767726446286))-π/2
    2×atan(0.550087861978205)-π/2
    2×0.502910664838358-π/2
    1.00582132967672-1.57079632675     		φ = -0.56497500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42500855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.351196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56497500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.370683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37201 KachelY 39002 0.42500855 -0.56497500 24.351196 -32.370683
    Oben rechts KachelX + 1 37202 KachelY 39002 0.42510443 -0.56497500 24.356690 -32.370683
    Unten links KachelX 37201 KachelY + 1 39003 0.42500855 -0.56505597 24.351196 -32.375322
    Unten rechts KachelX + 1 37202 KachelY + 1 39003 0.42510443 -0.56505597 24.356690 -32.375322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56497500--0.56505597) × R
    8.0969999999958e-05 × 6371000     		dl = 515.859869999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56497500--0.56505597) × R
    8.0969999999958e-05 × 6371000     		dr = 515.859869999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42500855-0.42510443) × cos(-0.56497500) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.844601985554818 × 6371000     		do = 515.92637288706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42500855-0.42510443) × cos(-0.56505597) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.84455863187725 × 6371000     		du = 515.899890228954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56497500)-sin(-0.56505597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844601985554818-0.84455863187725)×R²
    abs(0.42510443-0.42500855)×4.33536775679144e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33536775679144e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33536775679144e-05×40589641000000     		ar = 266138.881121853m²