Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37201 / 38366
↖ ↑ ↗
← S 29.372602°
E 24.351196°		 ← 532.33 m → S 29.372602°
E 24.356690°		 →
↑
532.23 m
↓
↑
532.23 m
↓
S 29.377388°
E 24.351196°		 ← 532.30 m →
283 315 m²		 S 29.377388°
E 24.356690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567649841308594 y=0.585426330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567649841308594 × 216)
    floor (0.567649841308594 × 65536)
    floor (37201.5)     		tx = 37201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585426330566406 × 216)
    floor (0.585426330566406 × 65536)
    floor (38366.5)     		ty = 38366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37201 / 38366 ti = "16/37201/38366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37201/38366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37201 ÷ 216
    37201 ÷ 65536     		x = 0.567642211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38366 ÷ 216
    38366 ÷ 65536     		y = 0.585418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567642211914062 × 2 - 1) × π
    0.135284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42500855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.17083740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.536701528146149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42500855} λ = 0.42500855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536701528146149))-π/2
    2×atan(0.58467360469691)-π/2
    2×0.529073860320213-π/2
    1.05814772064043-1.57079632675     		φ = -0.51264861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42500855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.351196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51264861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.372602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37201 KachelY 38366 0.42500855 -0.51264861 24.351196 -29.372602
    Oben rechts KachelX + 1 37202 KachelY 38366 0.42510443 -0.51264861 24.356690 -29.372602
    Unten links KachelX 37201 KachelY + 1 38367 0.42500855 -0.51273215 24.351196 -29.377388
    Unten rechts KachelX + 1 37202 KachelY + 1 38367 0.42510443 -0.51273215 24.356690 -29.377388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51264861--0.51273215) × R
    8.35400000001041e-05 × 6371000     		dl = 532.233340000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51264861--0.51273215) × R
    8.35400000001041e-05 × 6371000     		dr = 532.233340000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42500855-0.42510443) × cos(-0.51264861) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.871448456811184 × 6371000     		do = 532.325579586787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42500855-0.42510443) × cos(-0.51273215) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.871407478478701 × 6371000     		du = 532.300547911742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51264861)-sin(-0.51273215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871448456811184-0.871407478478701)×R²
    abs(0.42510443-0.42500855)×4.09783324822888e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.09783324822888e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.09783324822888e-05×40589641000000     		ar = 283314.760010062m²