Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37201 / 27712
↖ ↑ ↗
← N 26.745610°
E 24.351196°		 ← 545.50 m → N 26.745610°
E 24.356690°		 →
↑
545.49 m
↓
↑
545.49 m
↓
N 26.740705°
E 24.351196°		 ← 545.52 m →
297 568 m²		 N 26.740705°
E 24.356690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567649841308594 y=0.422859191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567649841308594 × 216)
    floor (0.567649841308594 × 65536)
    floor (37201.5)     		tx = 37201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422859191894531 × 216)
    floor (0.422859191894531 × 65536)
    floor (27712.5)     		ty = 27712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37201 / 27712 ti = "16/37201/27712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37201/27712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37201 ÷ 216
    37201 ÷ 65536     		x = 0.567642211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27712 ÷ 216
    27712 ÷ 65536     		y = 0.4228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567642211914062 × 2 - 1) × π
    0.135284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42500855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4228515625 × 2 - 1) × π
    0.154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.484737928958008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42500855} λ = 0.42500855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484737928958008))-π/2
    2×atan(1.62374941537758)-π/2
    2×1.01879764420374-π/2
    2.03759528840748-1.57079632675     		φ = 0.46679896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42500855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.351196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46679896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.745610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37201 KachelY 27712 0.42500855 0.46679896 24.351196 26.745610
    Oben rechts KachelX + 1 37202 KachelY 27712 0.42510443 0.46679896 24.356690 26.745610
    Unten links KachelX 37201 KachelY + 1 27713 0.42500855 0.46671334 24.351196 26.740705
    Unten rechts KachelX + 1 37202 KachelY + 1 27713 0.42510443 0.46671334 24.356690 26.740705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46679896-0.46671334) × R
    8.56200000000085e-05 × 6371000     		dl = 545.485020000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46679896-0.46671334) × R
    8.56200000000085e-05 × 6371000     		dr = 545.485020000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42500855-0.42510443) × cos(0.46679896) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.893013425041148 × 6371000     		do = 545.498572346213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42500855-0.42510443) × cos(0.46671334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89305195333853 × 6371000     		du = 545.52210741369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46679896)-sin(0.46671334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893013425041148-0.89305195333853)×R²
    abs(0.42510443-0.42500855)×3.85282973819345e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85282973819345e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85282973819345e-05×40589641000000     		ar = 297567.718841297m²