Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37201 / 26854
↖ ↑ ↗
← N 30.873940°
E 24.351196°		 ← 524.29 m → N 30.873940°
E 24.356690°		 →
↑
524.27 m
↓
↑
524.27 m
↓
N 30.869225°
E 24.351196°		 ← 524.32 m →
274 878 m²		 N 30.869225°
E 24.356690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567649841308594 y=0.409767150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567649841308594 × 216)
    floor (0.567649841308594 × 65536)
    floor (37201.5)     		tx = 37201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409767150878906 × 216)
    floor (0.409767150878906 × 65536)
    floor (26854.5)     		ty = 26854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37201 / 26854 ti = "16/37201/26854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37201/26854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37201 ÷ 216
    37201 ÷ 65536     		x = 0.567642211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26854 ÷ 216
    26854 ÷ 65536     		y = 0.409759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567642211914062 × 2 - 1) × π
    0.135284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42500855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409759521484375 × 2 - 1) × π
    0.18048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.566997648706024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42500855} λ = 0.42500855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.566997648706024))-π/2
    2×atan(1.76296605427359)-π/2
    2×1.05482411849804-π/2
    2.10964823699609-1.57079632675     		φ = 0.53885191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42500855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.351196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53885191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.873940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37201 KachelY 26854 0.42500855 0.53885191 24.351196 30.873940
    Oben rechts KachelX + 1 37202 KachelY 26854 0.42510443 0.53885191 24.356690 30.873940
    Unten links KachelX 37201 KachelY + 1 26855 0.42500855 0.53876962 24.351196 30.869225
    Unten rechts KachelX + 1 37202 KachelY + 1 26855 0.42510443 0.53876962 24.356690 30.869225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53885191-0.53876962) × R
    8.22900000000404e-05 × 6371000     		dl = 524.269590000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53885191-0.53876962) × R
    8.22900000000404e-05 × 6371000     		dr = 524.269590000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42500855-0.42510443) × cos(0.53885191) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.858298390347396 × 6371000     		do = 524.292842025284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42500855-0.42510443) × cos(0.53876962) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.858340614631025 × 6371000     		du = 524.318634791431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53885191)-sin(0.53876962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858298390347396-0.858340614631025)×R²
    abs(0.42510443-0.42500855)×4.22242836290998e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.22242836290998e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.22242836290998e-05×40589641000000     		ar = 274877.554665346m²