Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37201 / 102675
↖ ↑ ↗
← S 70.861789°
W 77.824402°		 ← 100.13 m → S 70.861789°
W 77.821655°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
S 70.862689°
W 77.824402°		 ← 100.13 m →
10 022 m²		 S 70.862689°
W 77.821655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283824920654297 y=0.783351898193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283824920654297 × 217)
    floor (0.283824920654297 × 131072)
    floor (37201.5)     		tx = 37201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783351898193359 × 217)
    floor (0.783351898193359 × 131072)
    floor (102675.5)     		ty = 102675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37201 / 102675 ti = "17/37201/102675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37201/102675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37201 ÷ 217
    37201 ÷ 131072     		x = 0.283821105957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102675 ÷ 217
    102675 ÷ 131072     		y = 0.783348083496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283821105957031 × 2 - 1) × π
    -0.432357788085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.35829205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783348083496094 × 2 - 1) × π
    -0.566696166992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.78032851498927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35829205} λ = -1.35829205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78032851498927))-π/2
    2×atan(0.168582756208351)-π/2
    2×0.167012399503402-π/2
    0.334024799006803-1.57079632675     		φ = -1.23677153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35829205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.824402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23677153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.861789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37201 KachelY 102675 -1.35829205 -1.23677153 -77.824402 -70.861789
    Oben rechts KachelX + 1 37202 KachelY 102675 -1.35824411 -1.23677153 -77.821655 -70.861789
    Unten links KachelX 37201 KachelY + 1 102676 -1.35829205 -1.23678724 -77.824402 -70.862689
    Unten rechts KachelX + 1 37202 KachelY + 1 102676 -1.35824411 -1.23678724 -77.821655 -70.862689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23677153--1.23678724) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23677153--1.23678724) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35829205--1.35824411) × cos(-1.23677153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327848021725769 × 6371000     		do = 100.133224643064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35829205--1.35824411) × cos(-1.23678724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327833179969515 × 6371000     		du = 100.128691588677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23677153)-sin(-1.23678724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327848021725769-0.327833179969515)×R²
    abs(-1.35824411--1.35829205)×1.48417562541581e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48417562541581e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48417562541581e-05×40589641000000     		ar = 10021.9483899122m²