Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37200 / 38365
↖ ↑ ↗
← S 29.367815°
E 24.345703°		 ← 532.30 m → S 29.367815°
E 24.351196°		 →
↑
532.30 m
↓
↑
532.30 m
↓
S 29.372602°
E 24.345703°		 ← 532.27 m →
283 332 m²		 S 29.372602°
E 24.351196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567634582519531 y=0.585411071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567634582519531 × 216)
    floor (0.567634582519531 × 65536)
    floor (37200.5)     		tx = 37200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585411071777344 × 216)
    floor (0.585411071777344 × 65536)
    floor (38365.5)     		ty = 38365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37200 / 38365 ti = "16/37200/38365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37200/38365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37200 ÷ 216
    37200 ÷ 65536     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38365 ÷ 216
    38365 ÷ 65536     		y = 0.585403442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585403442382812 × 2 - 1) × π
    -0.170806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.536605654346909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536605654346909))-π/2
    2×atan(0.584729662263891)-π/2
    2×0.52911563583969-π/2
    1.05823127167938-1.57079632675     		φ = -0.51256506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51256506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.367815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37200 KachelY 38365 0.42491268 -0.51256506 24.345703 -29.367815
    Oben rechts KachelX + 1 37201 KachelY 38365 0.42500855 -0.51256506 24.351196 -29.367815
    Unten links KachelX 37200 KachelY + 1 38366 0.42491268 -0.51264861 24.345703 -29.372602
    Unten rechts KachelX + 1 37201 KachelY + 1 38366 0.42500855 -0.51264861 24.351196 -29.372602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51256506--0.51264861) × R
    8.35499999999323e-05 × 6371000     		dl = 532.297049999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51256506--0.51264861) × R
    8.35499999999323e-05 × 6371000     		dr = 532.297049999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42500855) × cos(-0.51256506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87148943396603 × 6371000     		do = 532.295087950662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42500855) × cos(-0.51264861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871448456811184 × 6371000     		du = 532.270059605633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51256506)-sin(-0.51264861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87148943396603-0.871448456811184)×R²
    abs(0.42500855-0.42491268)×4.0977154845967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0977154845967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0977154845967e-05×40589641000000     		ar = 283332.443953105m²