Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37200 / 26959
↖ ↑ ↗
← N 30.377614°
E 24.345703°		 ← 526.93 m → N 30.377614°
E 24.351196°		 →
↑
526.95 m
↓
↑
526.95 m
↓
N 30.372875°
E 24.345703°		 ← 526.96 m →
277 672 m²		 N 30.372875°
E 24.351196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567634582519531 y=0.411369323730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567634582519531 × 216)
    floor (0.567634582519531 × 65536)
    floor (37200.5)     		tx = 37200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411369323730469 × 216)
    floor (0.411369323730469 × 65536)
    floor (26959.5)     		ty = 26959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37200 / 26959 ti = "16/37200/26959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37200/26959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37200 ÷ 216
    37200 ÷ 65536     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26959 ÷ 216
    26959 ÷ 65536     		y = 0.411361694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411361694335938 × 2 - 1) × π
    0.177276611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.556930899785812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.556930899785812))-π/2
    2×atan(1.74530774764328)-π/2
    2×1.05049285776365-π/2
    2.1009857155273-1.57079632675     		φ = 0.53018939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53018939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.377614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37200 KachelY 26959 0.42491268 0.53018939 24.345703 30.377614
    Oben rechts KachelX + 1 37201 KachelY 26959 0.42500855 0.53018939 24.351196 30.377614
    Unten links KachelX 37200 KachelY + 1 26960 0.42491268 0.53010668 24.345703 30.372875
    Unten rechts KachelX + 1 37201 KachelY + 1 26960 0.42500855 0.53010668 24.351196 30.372875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53018939-0.53010668) × R
    8.27099999999303e-05 × 6371000     		dl = 526.945409999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53018939-0.53010668) × R
    8.27099999999303e-05 × 6371000     		dr = 526.945409999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42500855) × cos(0.53018939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862711312082014 × 6371000     		do = 526.933518460336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42500855) × cos(0.53010668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862753135308383 × 6371000     		du = 526.959063575504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53018939)-sin(0.53010668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862711312082014-0.862753135308383)×R²
    abs(0.42500855-0.42491268)×4.1823226369031e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1823226369031e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1823226369031e-05×40589641000000     		ar = 277671.929526395m²