Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37200 / 26652
↖ ↑ ↗
← N 31.821564°
E 24.345703°		 ← 518.98 m → N 31.821564°
E 24.351196°		 →
↑
518.98 m
↓
↑
518.98 m
↓
N 31.816897°
E 24.345703°		 ← 519.01 m →
269 349 m²		 N 31.816897°
E 24.351196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567634582519531 y=0.406684875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567634582519531 × 216)
    floor (0.567634582519531 × 65536)
    floor (37200.5)     		tx = 37200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406684875488281 × 216)
    floor (0.406684875488281 × 65536)
    floor (26652.5)     		ty = 26652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37200 / 26652 ti = "16/37200/26652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37200/26652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37200 ÷ 216
    37200 ÷ 65536     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26652 ÷ 216
    26652 ÷ 65536     		y = 0.40667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40667724609375 × 2 - 1) × π
    0.1866455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586364156152527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586364156152527))-π/2
    2×atan(1.79744130456552)-π/2
    2×1.06309370035091-π/2
    2.12618740070182-1.57079632675     		φ = 0.55539107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55539107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.821564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37200 KachelY 26652 0.42491268 0.55539107 24.345703 31.821564
    Oben rechts KachelX + 1 37201 KachelY 26652 0.42500855 0.55539107 24.351196 31.821564
    Unten links KachelX 37200 KachelY + 1 26653 0.42491268 0.55530961 24.345703 31.816897
    Unten rechts KachelX + 1 37201 KachelY + 1 26653 0.42500855 0.55530961 24.351196 31.816897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55539107-0.55530961) × R
    8.14599999999777e-05 × 6371000     		dl = 518.981659999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55539107-0.55530961) × R
    8.14599999999777e-05 × 6371000     		dr = 518.981659999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42500855) × cos(0.55539107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849694303568596 × 6371000     		do = 518.982888858354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42500855) × cos(0.55530961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849737252622235 × 6371000     		du = 519.00912161505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55539107)-sin(0.55530961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849694303568596-0.849737252622235)×R²
    abs(0.42500855-0.42491268)×4.29490536385524e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29490536385524e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29490536385524e-05×40589641000000     		ar = 269349.40847969m²