Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3720 / 5331
↖ ↑ ↗
← S 47.606163°
W 16.523438°		 ← 3 294.59 m → S 47.606163°
W 16.479492°		 →
↑
3 293.68 m
↓
↑
3 293.68 m
↓
S 47.635784°
W 16.523438°		 ← 3 292.72 m →
10 848 237 m²		 S 47.635784°
W 16.479492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45416259765625 y=0.65081787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45416259765625 × 213)
    floor (0.45416259765625 × 8192)
    floor (3720.5)     		tx = 3720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65081787109375 × 213)
    floor (0.65081787109375 × 8192)
    floor (5331.5)     		ty = 5331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3720 / 5331 ti = "13/3720/5331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3720/5331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3720 ÷ 213
    3720 ÷ 8192     		x = 0.4541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5331 ÷ 213
    5331 ÷ 8192     		y = 0.6507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.301513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.94723313649231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28838839} λ = -0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94723313649231))-π/2
    2×atan(0.387812564799946)-π/2
    2×0.369956018728198-π/2
    0.739912037456395-1.57079632675     		φ = -0.83088429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83088429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.606163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3720 KachelY 5331 -0.28838839 -0.83088429 -16.523438 -47.606163
    Oben rechts KachelX + 1 3721 KachelY 5331 -0.28762140 -0.83088429 -16.479492 -47.606163
    Unten links KachelX 3720 KachelY + 1 5332 -0.28838839 -0.83140127 -16.523438 -47.635784
    Unten rechts KachelX + 1 3721 KachelY + 1 5332 -0.28762140 -0.83140127 -16.479492 -47.635784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83088429--0.83140127) × R
    0.00051698 × 6371000     		dl = 3293.67958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83088429--0.83140127) × R
    0.00051698 × 6371000     		dr = 3293.67958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28838839--0.28762140) × cos(-0.83088429) × R
    0.000766989999999967 × 0.674222950958275 × 6371000     		do = 3294.58592582147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28838839--0.28762140) × cos(-0.83140127) × R
    0.000766989999999967 × 0.673841056738662 × 6371000     		du = 3292.71980227984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83088429)-sin(-0.83140127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674222950958275-0.673841056738662)×R²
    abs(-0.28762140--0.28838839)×0.000381894219613099×R²
    0.000766989999999967×0.000381894219613099×6371000²
    0.000766989999999967×0.000381894219613099×40589641000000     		ar = 10848237.4235503m²