Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3720 / 2239
↖ ↑ ↗
← N 62.935235°
W 16.523438°		 ← 2 223.34 m → N 62.935235°
W 16.479492°		 →
↑
2 224.05 m
↓
↑
2 224.05 m
↓
N 62.915233°
W 16.523438°		 ← 2 224.86 m →
4 946 517 m²		 N 62.915233°
W 16.479492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45416259765625 y=0.27337646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45416259765625 × 213)
    floor (0.45416259765625 × 8192)
    floor (3720.5)     		tx = 3720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27337646484375 × 213)
    floor (0.27337646484375 × 8192)
    floor (2239.5)     		ty = 2239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3720 / 2239 ti = "13/3720/2239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3720/2239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3720 ÷ 213
    3720 ÷ 8192     		x = 0.4541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2239 ÷ 213
    2239 ÷ 8192     		y = 0.2733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2733154296875 × 2 - 1) × π
    0.453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42430116151111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28838839} λ = -0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42430116151111))-π/2
    2×atan(4.15495318672508)-π/2
    2×1.33461169539219-π/2
    2.66922339078437-1.57079632675     		φ = 1.09842706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09842706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.935235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3720 KachelY 2239 -0.28838839 1.09842706 -16.523438 62.935235
    Oben rechts KachelX + 1 3721 KachelY 2239 -0.28762140 1.09842706 -16.479492 62.935235
    Unten links KachelX 3720 KachelY + 1 2240 -0.28838839 1.09807797 -16.523438 62.915233
    Unten rechts KachelX + 1 3721 KachelY + 1 2240 -0.28762140 1.09807797 -16.479492 62.915233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09842706-1.09807797) × R
    0.00034908999999983 × 6371000     		dl = 2224.05238999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09842706-1.09807797) × R
    0.00034908999999983 × 6371000     		dr = 2224.05238999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28838839--0.28762140) × cos(1.09842706) × R
    0.000766989999999967 × 0.454997375422371 × 6371000     		do = 2223.34162196893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28838839--0.28762140) × cos(1.09807797) × R
    0.000766989999999967 × 0.455308209816203 × 6371000     		du = 2224.8605121487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09842706)-sin(1.09807797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454997375422371-0.455308209816203)×R²
    abs(-0.28762140--0.28838839)×0.000310834393832338×R²
    0.000766989999999967×0.000310834393832338×6371000²
    0.000766989999999967×0.000310834393832338×40589641000000     		ar = 4946517.34402512m²