Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3720 / 1704
↖ ↑ ↗
← N 71.856229°
W 16.523438°		 ← 1 521.67 m → N 71.856229°
W 16.479492°		 →
↑
1 522.22 m
↓
↑
1 522.22 m
↓
N 71.842539°
W 16.523438°		 ← 1 522.78 m →
2 317 160 m²		 N 71.842539°
W 16.479492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45416259765625 y=0.20806884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45416259765625 × 213)
    floor (0.45416259765625 × 8192)
    floor (3720.5)     		tx = 3720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20806884765625 × 213)
    floor (0.20806884765625 × 8192)
    floor (1704.5)     		ty = 1704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3720 / 1704 ti = "13/3720/1704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3720/1704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3720 ÷ 213
    3720 ÷ 8192     		x = 0.4541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1704 ÷ 213
    1704 ÷ 8192     		y = 0.2080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2080078125 × 2 - 1) × π
    0.583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83464102225879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28838839} λ = -0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83464102225879))-π/2
    2×atan(6.26288550536182)-π/2
    2×1.41246205441679-π/2
    2.82492410883359-1.57079632675     		φ = 1.25412778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25412778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.856229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3720 KachelY 1704 -0.28838839 1.25412778 -16.523438 71.856229
    Oben rechts KachelX + 1 3721 KachelY 1704 -0.28762140 1.25412778 -16.479492 71.856229
    Unten links KachelX 3720 KachelY + 1 1705 -0.28838839 1.25388885 -16.523438 71.842539
    Unten rechts KachelX + 1 3721 KachelY + 1 1705 -0.28762140 1.25388885 -16.479492 71.842539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25412778-1.25388885) × R
    0.00023892999999986 × 6371000     		dl = 1522.22302999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25412778-1.25388885) × R
    0.00023892999999986 × 6371000     		dr = 1522.22302999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28838839--0.28762140) × cos(1.25412778) × R
    0.000766989999999967 × 0.311402487470188 × 6371000     		do = 1521.66616551232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28838839--0.28762140) × cos(1.25388885) × R
    0.000766989999999967 × 0.311629528528808 × 6371000     		du = 1522.77560012182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25412778)-sin(1.25388885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311402487470188-0.311629528528808)×R²
    abs(-0.28762140--0.28838839)×0.00022704105861987×R²
    0.000766989999999967×0.00022704105861987×6371000²
    0.000766989999999967×0.00022704105861987×40589641000000     		ar = 2317159.69559205m²