Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37199 / 27702
↖ ↑ ↗
← N 26.794654°
E 24.340210°		 ← 545.26 m → N 26.794654°
E 24.345703°		 →
↑
545.23 m
↓
↑
545.23 m
↓
N 26.789751°
E 24.340210°		 ← 545.29 m →
297 300 m²		 N 26.789751°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567619323730469 y=0.422706604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567619323730469 × 216)
    floor (0.567619323730469 × 65536)
    floor (37199.5)     		tx = 37199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422706604003906 × 216)
    floor (0.422706604003906 × 65536)
    floor (27702.5)     		ty = 27702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37199 / 27702 ti = "16/37199/27702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37199/27702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37199 ÷ 216
    37199 ÷ 65536     		x = 0.567611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27702 ÷ 216
    27702 ÷ 65536     		y = 0.422698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567611694335938 × 2 - 1) × π
    0.135223388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42481680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422698974609375 × 2 - 1) × π
    0.15460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.485696666950409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42481680} λ = 0.42481680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485696666950409))-π/2
    2×atan(1.6253069121286)-π/2
    2×1.01922563476303-π/2
    2.03845126952606-1.57079632675     		φ = 0.46765494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42481680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.340210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46765494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.794654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37199 KachelY 27702 0.42481680 0.46765494 24.340210 26.794654
    Oben rechts KachelX + 1 37200 KachelY 27702 0.42491268 0.46765494 24.345703 26.794654
    Unten links KachelX 37199 KachelY + 1 27703 0.42481680 0.46756936 24.340210 26.789751
    Unten rechts KachelX + 1 37200 KachelY + 1 27703 0.42491268 0.46756936 24.345703 26.789751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46765494-0.46756936) × R
    8.55800000000295e-05 × 6371000     		dl = 545.230180000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46765494-0.46756936) × R
    8.55800000000295e-05 × 6371000     		dr = 545.230180000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42481680-0.42491268) × cos(0.46765494) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.892627881231826 × 6371000     		do = 545.263062339684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42481680-0.42491268) × cos(0.46756936) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.892666456935851 × 6371000     		du = 545.286626365579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46765494)-sin(0.46756936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892627881231826-0.892666456935851)×R²
    abs(0.42491268-0.42481680)×3.8575704024657e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8575704024657e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8575704024657e-05×40589641000000     		ar = 297300.301717356m²