Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37199 / 26837
↖ ↑ ↗
← N 30.954058°
E 24.340210°		 ← 523.85 m → N 30.954058°
E 24.345703°		 →
↑
523.82 m
↓
↑
523.82 m
↓
N 30.949347°
E 24.340210°		 ← 523.88 m →
274 414 m²		 N 30.949347°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567619323730469 y=0.409507751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567619323730469 × 216)
    floor (0.567619323730469 × 65536)
    floor (37199.5)     		tx = 37199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409507751464844 × 216)
    floor (0.409507751464844 × 65536)
    floor (26837.5)     		ty = 26837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37199 / 26837 ti = "16/37199/26837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37199/26837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37199 ÷ 216
    37199 ÷ 65536     		x = 0.567611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26837 ÷ 216
    26837 ÷ 65536     		y = 0.409500122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567611694335938 × 2 - 1) × π
    0.135223388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42481680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409500122070312 × 2 - 1) × π
    0.180999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.568627503293106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42481680} λ = 0.42481680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.568627503293106))-π/2
    2×atan(1.7658417754511)-π/2
    2×1.05552327663908-π/2
    2.11104655327815-1.57079632675     		φ = 0.54025023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42481680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.340210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54025023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.954058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37199 KachelY 26837 0.42481680 0.54025023 24.340210 30.954058
    Oben rechts KachelX + 1 37200 KachelY 26837 0.42491268 0.54025023 24.345703 30.954058
    Unten links KachelX 37199 KachelY + 1 26838 0.42481680 0.54016801 24.340210 30.949347
    Unten rechts KachelX + 1 37200 KachelY + 1 26838 0.42491268 0.54016801 24.345703 30.949347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54025023-0.54016801) × R
    8.22200000000217e-05 × 6371000     		dl = 523.823620000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54025023-0.54016801) × R
    8.22200000000217e-05 × 6371000     		dr = 523.823620000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42481680-0.42491268) × cos(0.54025023) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.857580002263238 × 6371000     		do = 523.854013600862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42481680-0.42491268) × cos(0.54016801) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.857622289270847 × 6371000     		du = 523.879844682045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54025023)-sin(0.54016801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857580002263238-0.857622289270847)×R²
    abs(0.42491268-0.42481680)×4.22870076086657e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.22870076086657e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.22870076086657e-05×40589641000000     		ar = 274413.871375541m²