Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37199 / 102673
↖ ↑ ↗
← S 70.859988°
W 77.829895°		 ← 100.12 m → S 70.859988°
W 77.827149°		 →
↑
100.15 m
↓
↑
100.15 m
↓
S 70.860888°
W 77.829895°		 ← 100.12 m →
10 027 m²		 S 70.860888°
W 77.827149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283809661865234 y=0.783336639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283809661865234 × 217)
    floor (0.283809661865234 × 131072)
    floor (37199.5)     		tx = 37199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783336639404297 × 217)
    floor (0.783336639404297 × 131072)
    floor (102673.5)     		ty = 102673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37199 / 102673 ti = "17/37199/102673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37199/102673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37199 ÷ 217
    37199 ÷ 131072     		x = 0.283805847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102673 ÷ 217
    102673 ÷ 131072     		y = 0.783332824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283805847167969 × 2 - 1) × π
    -0.432388305664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.35838792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783332824707031 × 2 - 1) × π
    -0.566665649414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.78023264119003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35838792} λ = -1.35838792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78023264119003))-π/2
    2×atan(0.168598919652488)-π/2
    2×0.167028116232967-π/2
    0.334056232465934-1.57079632675     		φ = -1.23674009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35838792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.829895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23674009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.859988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37199 KachelY 102673 -1.35838792 -1.23674009 -77.829895 -70.859988
    Oben rechts KachelX + 1 37200 KachelY 102673 -1.35833999 -1.23674009 -77.827149 -70.859988
    Unten links KachelX 37199 KachelY + 1 102674 -1.35838792 -1.23675581 -77.829895 -70.860888
    Unten rechts KachelX + 1 37200 KachelY + 1 102674 -1.35833999 -1.23675581 -77.827149 -70.860888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23674009--1.23675581) × R
    1.57199999999413e-05 × 6371000     		dl = 100.152119999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23674009--1.23675581) × R
    1.57199999999413e-05 × 6371000     		dr = 100.152119999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35838792--1.35833999) × cos(-1.23674009) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327877723889935 × 6371000     		do = 100.121407358871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35838792--1.35833999) × cos(-1.23675581) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327862872848362 × 6371000     		du = 100.116872414669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23674009)-sin(-1.23675581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327877723889935-0.327862872848362)×R²
    abs(-1.35833999--1.35838792)×1.48510415721725e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48510415721725e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48510415721725e-05×40589641000000     		ar = 10027.1441124607m²