Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37198 / 39186
↖ ↑ ↗
← S 33.220308°
E 24.334717°		 ← 510.97 m → S 33.220308°
E 24.340210°		 →
↑
510.95 m
↓
↑
510.95 m
↓
S 33.224903°
E 24.334717°		 ← 510.94 m →
261 074 m²		 S 33.224903°
E 24.340210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567604064941406 y=0.597938537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567604064941406 × 216)
    floor (0.567604064941406 × 65536)
    floor (37198.5)     		tx = 37198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597938537597656 × 216)
    floor (0.597938537597656 × 65536)
    floor (39186.5)     		ty = 39186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37198 / 39186 ti = "16/37198/39186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37198/39186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37198 ÷ 216
    37198 ÷ 65536     		x = 0.567596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39186 ÷ 216
    39186 ÷ 65536     		y = 0.597930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567596435546875 × 2 - 1) × π
    0.13519287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42472093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.19586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.615318043523041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42472093} λ = 0.42472093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615318043523041))-π/2
    2×atan(0.540468975314742)-π/2
    2×0.49549628867684-π/2
    0.990992577353679-1.57079632675     		φ = -0.57980375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42472093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.334717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57980375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.220308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37198 KachelY 39186 0.42472093 -0.57980375 24.334717 -33.220308
    Oben rechts KachelX + 1 37199 KachelY 39186 0.42481680 -0.57980375 24.340210 -33.220308
    Unten links KachelX 37198 KachelY + 1 39187 0.42472093 -0.57988395 24.334717 -33.224903
    Unten rechts KachelX + 1 37199 KachelY + 1 39187 0.42481680 -0.57988395 24.340210 -33.224903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57980375--0.57988395) × R
    8.02000000000858e-05 × 6371000     		dl = 510.954200000546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57980375--0.57988395) × R
    8.02000000000858e-05 × 6371000     		dr = 510.954200000546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42472093-0.42481680) × cos(-0.57980375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836570183504305 × 6371000     		do = 510.966836831074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42472093-0.42481680) × cos(-0.57988395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836526242460336 × 6371000     		du = 510.939998178816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57980375)-sin(-0.57988395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836570183504305-0.836526242460336)×R²
    abs(0.42481680-0.42472093)×4.39410439690979e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39410439690979e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39410439690979e-05×40589641000000     		ar = 261073.79481872m²