Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37198 / 26777
↖ ↑ ↗
← N 31.236288°
E 24.334717°		 ← 522.25 m → N 31.236288°
E 24.340210°		 →
↑
522.23 m
↓
↑
522.23 m
↓
N 31.231592°
E 24.334717°		 ← 522.27 m →
272 740 m²		 N 31.231592°
E 24.340210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567604064941406 y=0.408592224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567604064941406 × 216)
    floor (0.567604064941406 × 65536)
    floor (37198.5)     		tx = 37198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408592224121094 × 216)
    floor (0.408592224121094 × 65536)
    floor (26777.5)     		ty = 26777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37198 / 26777 ti = "16/37198/26777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37198/26777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37198 ÷ 216
    37198 ÷ 65536     		x = 0.567596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26777 ÷ 216
    26777 ÷ 65536     		y = 0.408584594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567596435546875 × 2 - 1) × π
    0.13519287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42472093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408584594726562 × 2 - 1) × π
    0.182830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.574379931247513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42472093} λ = 0.42472093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.574379931247513))-π/2
    2×atan(1.77602892537485)-π/2
    2×1.05798620484173-π/2
    2.11597240968346-1.57079632675     		φ = 0.54517608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42472093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.334717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54517608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.236288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37198 KachelY 26777 0.42472093 0.54517608 24.334717 31.236288
    Oben rechts KachelX + 1 37199 KachelY 26777 0.42481680 0.54517608 24.340210 31.236288
    Unten links KachelX 37198 KachelY + 1 26778 0.42472093 0.54509411 24.334717 31.231592
    Unten rechts KachelX + 1 37199 KachelY + 1 26778 0.42481680 0.54509411 24.340210 31.231592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54517608-0.54509411) × R
    8.19699999999868e-05 × 6371000     		dl = 522.230869999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54517608-0.54509411) × R
    8.19699999999868e-05 × 6371000     		dr = 522.230869999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42472093-0.42481680) × cos(0.54517608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.855035994467372 × 6371000     		do = 522.245528330447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42472093-0.42481680) × cos(0.54509411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.855078498667306 × 6371000     		du = 522.27148937594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54517608)-sin(0.54509411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855035994467372-0.855078498667306)×R²
    abs(0.42481680-0.42472093)×4.25041999337905e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25041999337905e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25041999337905e-05×40589641000000     		ar = 272739.515595966m²