Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37197 / 26950
↖ ↑ ↗
← N 30.420256°
E 24.329224°		 ← 526.70 m → N 30.420256°
E 24.334717°		 →
↑
526.75 m
↓
↑
526.75 m
↓
N 30.415519°
E 24.329224°		 ← 526.73 m →
277 450 m²		 N 30.415519°
E 24.334717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567588806152344 y=0.411231994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567588806152344 × 216)
    floor (0.567588806152344 × 65536)
    floor (37197.5)     		tx = 37197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411231994628906 × 216)
    floor (0.411231994628906 × 65536)
    floor (26950.5)     		ty = 26950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37197 / 26950 ti = "16/37197/26950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37197/26950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37197 ÷ 216
    37197 ÷ 65536     		x = 0.567581176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26950 ÷ 216
    26950 ÷ 65536     		y = 0.411224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567581176757812 × 2 - 1) × π
    0.135162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42462506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411224365234375 × 2 - 1) × π
    0.17755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.557793763978973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42462506} λ = 0.42462506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557793763978973))-π/2
    2×atan(1.7468143611127)-π/2
    2×1.05086497788691-π/2
    2.10172995577383-1.57079632675     		φ = 0.53093363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42462506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.329224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53093363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.420256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37197 KachelY 26950 0.42462506 0.53093363 24.329224 30.420256
    Oben rechts KachelX + 1 37198 KachelY 26950 0.42472093 0.53093363 24.334717 30.420256
    Unten links KachelX 37197 KachelY + 1 26951 0.42462506 0.53085095 24.329224 30.415519
    Unten rechts KachelX + 1 37198 KachelY + 1 26951 0.42472093 0.53085095 24.334717 30.415519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53093363-0.53085095) × R
    8.26800000000016e-05 × 6371000     		dl = 526.75428000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53093363-0.53085095) × R
    8.26800000000016e-05 × 6371000     		dr = 526.75428000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42462506-0.42472093) × cos(0.53093363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862334713450655 × 6371000     		do = 526.703496622103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42462506-0.42472093) × cos(0.53085095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862376574583838 × 6371000     		du = 526.72906489029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53093363)-sin(0.53085095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862334713450655-0.862376574583838)×R²
    abs(0.42472093-0.42462506)×4.18611331836072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18611331836072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18611331836072e-05×40589641000000     		ar = 277450.055391726m²