Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37196 / 28386
↖ ↑ ↗
← N 23.392682°
E 24.323730°		 ← 560.64 m → N 23.392682°
E 24.329224°		 →
↑
560.58 m
↓
↑
560.58 m
↓
N 23.387640°
E 24.323730°		 ← 560.66 m →
314 294 m²		 N 23.387640°
E 24.329224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567573547363281 y=0.433143615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567573547363281 × 216)
    floor (0.567573547363281 × 65536)
    floor (37196.5)     		tx = 37196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433143615722656 × 216)
    floor (0.433143615722656 × 65536)
    floor (28386.5)     		ty = 28386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37196 / 28386 ti = "16/37196/28386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37196/28386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37196 ÷ 216
    37196 ÷ 65536     		x = 0.56756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28386 ÷ 216
    28386 ÷ 65536     		y = 0.433135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56756591796875 × 2 - 1) × π
    0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433135986328125 × 2 - 1) × π
    0.13372802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.420118988270172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42452918} λ = 0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420118988270172))-π/2
    2×atan(1.52214266196596)-π/2
    2×0.989537824091307-π/2
    1.97907564818261-1.57079632675     		φ = 0.40827932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40827932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.392682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37196 KachelY 28386 0.42452918 0.40827932 24.323730 23.392682
    Oben rechts KachelX + 1 37197 KachelY 28386 0.42462506 0.40827932 24.329224 23.392682
    Unten links KachelX 37196 KachelY + 1 28387 0.42452918 0.40819133 24.323730 23.387640
    Unten rechts KachelX + 1 37197 KachelY + 1 28387 0.42462506 0.40819133 24.329224 23.387640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40827932-0.40819133) × R
    8.79899999999822e-05 × 6371000     		dl = 560.584289999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40827932-0.40819133) × R
    8.79899999999822e-05 × 6371000     		dr = 560.584289999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42452918-0.42462506) × cos(0.40827932) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.917805343898967 × 6371000     		do = 560.64275267255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42452918-0.42462506) × cos(0.40819133) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.917840275074396 × 6371000     		du = 560.664090432759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40827932)-sin(0.40819133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917805343898967-0.917840275074396)×R²
    abs(0.42462506-0.42452918)×3.49311754286319e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.49311754286319e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.49311754286319e-05×40589641000000     		ar = 314293.500459848m²