Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37195 / 27685
↖ ↑ ↗
← N 26.877981°
E 24.318237°		 ← 544.81 m → N 26.877981°
E 24.323730°		 →
↑
544.85 m
↓
↑
544.85 m
↓
N 26.873081°
E 24.318237°		 ← 544.83 m →
296 842 m²		 N 26.873081°
E 24.323730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567558288574219 y=0.422447204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567558288574219 × 216)
    floor (0.567558288574219 × 65536)
    floor (37195.5)     		tx = 37195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422447204589844 × 216)
    floor (0.422447204589844 × 65536)
    floor (27685.5)     		ty = 27685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37195 / 27685 ti = "16/37195/27685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37195/27685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37195 ÷ 216
    37195 ÷ 65536     		x = 0.567550659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27685 ÷ 216
    27685 ÷ 65536     		y = 0.422439575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567550659179688 × 2 - 1) × π
    0.135101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42443331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422439575195312 × 2 - 1) × π
    0.155120849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.487326521537491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42443331} λ = 0.42443331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487326521537491))-π/2
    2×atan(1.62795808598179)-π/2
    2×1.01995279416365-π/2
    2.03990558832731-1.57079632675     		φ = 0.46910926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42443331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.318237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46910926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.877981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37195 KachelY 27685 0.42443331 0.46910926 24.318237 26.877981
    Oben rechts KachelX + 1 37196 KachelY 27685 0.42452918 0.46910926 24.323730 26.877981
    Unten links KachelX 37195 KachelY + 1 27686 0.42443331 0.46902374 24.318237 26.873081
    Unten rechts KachelX + 1 37196 KachelY + 1 27686 0.42452918 0.46902374 24.323730 26.873081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46910926-0.46902374) × R
    8.55199999999501e-05 × 6371000     		dl = 544.847919999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46910926-0.46902374) × R
    8.55199999999501e-05 × 6371000     		dr = 544.847919999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42443331-0.42452918) × cos(0.46910926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891971338378795 × 6371000     		do = 544.805184672288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42443331-0.42452918) × cos(0.46902374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892009998020544 × 6371000     		du = 544.82879750866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46910926)-sin(0.46902374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891971338378795-0.892009998020544)×R²
    abs(0.42452918-0.42443331)×3.86596417488727e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86596417488727e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86596417488727e-05×40589641000000     		ar = 296842.404556977m²