Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37194 / 30663
↖ ↑ ↗
← N 11.485408°
E 24.312744°		 ← 598.56 m → N 11.485408°
E 24.318237°		 →
↑
598.56 m
↓
↑
598.56 m
↓
N 11.480025°
E 24.312744°		 ← 598.57 m →
358 273 m²		 N 11.480025°
E 24.318237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567543029785156 y=0.467887878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567543029785156 × 216)
    floor (0.567543029785156 × 65536)
    floor (37194.5)     		tx = 37194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467887878417969 × 216)
    floor (0.467887878417969 × 65536)
    floor (30663.5)     		ty = 30663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37194 / 30663 ti = "16/37194/30663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37194/30663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37194 ÷ 216
    37194 ÷ 65536     		x = 0.567535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30663 ÷ 216
    30663 ÷ 65536     		y = 0.467880249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567535400390625 × 2 - 1) × π
    0.13507080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42433744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467880249023438 × 2 - 1) × π
    0.064239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.201814347400436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42433744} λ = 0.42433744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201814347400436))-π/2
    2×atan(1.22362081863699)-π/2
    2×0.885627254991342-π/2
    1.77125450998268-1.57079632675     		φ = 0.20045818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42433744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.312744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20045818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.485408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37194 KachelY 30663 0.42433744 0.20045818 24.312744 11.485408
    Oben rechts KachelX + 1 37195 KachelY 30663 0.42443331 0.20045818 24.318237 11.485408
    Unten links KachelX 37194 KachelY + 1 30664 0.42433744 0.20036423 24.312744 11.480025
    Unten rechts KachelX + 1 37195 KachelY + 1 30664 0.42443331 0.20036423 24.318237 11.480025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20045818-0.20036423) × R
    9.39500000000093e-05 × 6371000     		dl = 598.555450000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20045818-0.20036423) × R
    9.39500000000093e-05 × 6371000     		dr = 598.555450000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42433744-0.42443331) × cos(0.20045818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979975448658289 × 6371000     		do = 598.557018940733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42433744-0.42443331) × cos(0.20036423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979994151502959 × 6371000     		du = 598.568442409521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20045818)-sin(0.20036423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979975448658289-0.979994151502959)×R²
    abs(0.42443331-0.42433744)×1.87028446698712e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.87028446698712e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.87028446698712e-05×40589641000000     		ar = 358272.984876053m²