Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37194 / 26952
↖ ↑ ↗
← N 30.410782°
E 24.312744°		 ← 526.75 m → N 30.410782°
E 24.318237°		 →
↑
526.75 m
↓
↑
526.75 m
↓
N 30.406045°
E 24.312744°		 ← 526.78 m →
277 477 m²		 N 30.406045°
E 24.318237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567543029785156 y=0.411262512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567543029785156 × 216)
    floor (0.567543029785156 × 65536)
    floor (37194.5)     		tx = 37194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411262512207031 × 216)
    floor (0.411262512207031 × 65536)
    floor (26952.5)     		ty = 26952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37194 / 26952 ti = "16/37194/26952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37194/26952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37194 ÷ 216
    37194 ÷ 65536     		x = 0.567535400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26952 ÷ 216
    26952 ÷ 65536     		y = 0.4112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567535400390625 × 2 - 1) × π
    0.13507080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42433744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4112548828125 × 2 - 1) × π
    0.177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.557602016380493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42433744} λ = 0.42433744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557602016380493))-π/2
    2×atan(1.7464794457646)-π/2
    2×1.05078229856847-π/2
    2.10156459713695-1.57079632675     		φ = 0.53076827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42433744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.312744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53076827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.410782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37194 KachelY 26952 0.42433744 0.53076827 24.312744 30.410782
    Oben rechts KachelX + 1 37195 KachelY 26952 0.42443331 0.53076827 24.318237 30.410782
    Unten links KachelX 37194 KachelY + 1 26953 0.42433744 0.53068559 24.312744 30.406045
    Unten rechts KachelX + 1 37195 KachelY + 1 26953 0.42443331 0.53068559 24.318237 30.406045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53076827-0.53068559) × R
    8.26800000000016e-05 × 6371000     		dl = 526.75428000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53076827-0.53068559) × R
    8.26800000000016e-05 × 6371000     		dr = 526.75428000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42433744-0.42443331) × cos(0.53076827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862418429821831 × 6371000     		do = 526.754629557766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42433744-0.42443331) × cos(0.53068559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862460279164346 × 6371000     		du = 526.780190624357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53076827)-sin(0.53068559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862418429821831-0.862460279164346)×R²
    abs(0.42443331-0.42433744)×4.18493425152766e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18493425152766e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18493425152766e-05×40589641000000     		ar = 277476.987987857m²