Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37193 / 30665
↖ ↑ ↗
← N 11.474641°
E 24.307251°		 ← 598.64 m → N 11.474641°
E 24.312744°		 →
↑
598.62 m
↓
↑
598.62 m
↓
N 11.469258°
E 24.307251°		 ← 598.65 m →
358 362 m²		 N 11.469258°
E 24.312744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567527770996094 y=0.467918395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567527770996094 × 216)
    floor (0.567527770996094 × 65536)
    floor (37193.5)     		tx = 37193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467918395996094 × 216)
    floor (0.467918395996094 × 65536)
    floor (30665.5)     		ty = 30665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37193 / 30665 ti = "16/37193/30665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37193/30665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37193 ÷ 216
    37193 ÷ 65536     		x = 0.567520141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30665 ÷ 216
    30665 ÷ 65536     		y = 0.467910766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567520141601562 × 2 - 1) × π
    0.135040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42424156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467910766601562 × 2 - 1) × π
    0.064178466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.201622599801956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42424156} λ = 0.42424156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201622599801956))-π/2
    2×atan(1.22338621477665)-π/2
    2×0.885533299228905-π/2
    1.77106659845781-1.57079632675     		φ = 0.20027027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42424156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.307251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20027027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.474641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37193 KachelY 30665 0.42424156 0.20027027 24.307251 11.474641
    Oben rechts KachelX + 1 37194 KachelY 30665 0.42433744 0.20027027 24.312744 11.474641
    Unten links KachelX 37193 KachelY + 1 30666 0.42424156 0.20017631 24.307251 11.469258
    Unten rechts KachelX + 1 37194 KachelY + 1 30666 0.42433744 0.20017631 24.312744 11.469258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20027027-0.20017631) × R
    9.3960000000004e-05 × 6371000     		dl = 598.619160000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20027027-0.20017631) × R
    9.3960000000004e-05 × 6371000     		dr = 598.619160000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42424156-0.42433744) × cos(0.20027027) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980012847686952 × 6371000     		do = 598.642298428543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42424156-0.42433744) × cos(0.20017631) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98003153521892 × 6371000     		du = 598.653713735103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20027027)-sin(0.20017631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980012847686952-0.98003153521892)×R²
    abs(0.42433744-0.42424156)×1.86875319677648e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.86875319677648e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.86875319677648e-05×40589641000000     		ar = 358362.16680007m²