Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37192 / 39015
↖ ↑ ↗
← S 32.430977°
E 24.301758°		 ← 515.53 m → S 32.430977°
E 24.307251°		 →
↑
515.54 m
↓
↑
515.54 m
↓
S 32.435613°
E 24.301758°		 ← 515.50 m →
265 769 m²		 S 32.435613°
E 24.307251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567512512207031 y=0.595329284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567512512207031 × 216)
    floor (0.567512512207031 × 65536)
    floor (37192.5)     		tx = 37192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595329284667969 × 216)
    floor (0.595329284667969 × 65536)
    floor (39015.5)     		ty = 39015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37192 / 39015 ti = "16/37192/39015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37192/39015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37192 ÷ 216
    37192 ÷ 65536     		x = 0.5675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39015 ÷ 216
    39015 ÷ 65536     		y = 0.595321655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595321655273438 × 2 - 1) × π
    -0.190643310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.598923623852982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42414569} λ = 0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598923623852982))-π/2
    2×atan(0.549402681885055)-π/2
    2×0.502384501699083-π/2
    1.00476900339817-1.57079632675     		φ = -0.56602732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56602732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.430977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37192 KachelY 39015 0.42414569 -0.56602732 24.301758 -32.430977
    Oben rechts KachelX + 1 37193 KachelY 39015 0.42424156 -0.56602732 24.307251 -32.430977
    Unten links KachelX 37192 KachelY + 1 39016 0.42414569 -0.56610824 24.301758 -32.435613
    Unten rechts KachelX + 1 37193 KachelY + 1 39016 0.42424156 -0.56610824 24.307251 -32.435613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56602732--0.56610824) × R
    8.09200000000398e-05 × 6371000     		dl = 515.541320000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56602732--0.56610824) × R
    8.09200000000398e-05 × 6371000     		dr = 515.541320000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42414569-0.42424156) × cos(-0.56602732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844038111460385 × 6371000     		do = 515.528155893889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42414569-0.42424156) × cos(-0.56610824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.843994712660805 × 6371000     		du = 515.501648437873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56602732)-sin(-0.56610824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844038111460385-0.843994712660805)×R²
    abs(0.42424156-0.42414569)×4.33987995801521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33987995801521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33987995801521e-05×40589641000000     		ar = 265769.233287432m²