Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37192 / 27065
↖ ↑ ↗
← N 29.873992°
E 24.301758°		 ← 529.63 m → N 29.873992°
E 24.307251°		 →
↑
529.62 m
↓
↑
529.62 m
↓
N 29.869229°
E 24.301758°		 ← 529.65 m →
280 509 m²		 N 29.869229°
E 24.307251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567512512207031 y=0.412986755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567512512207031 × 216)
    floor (0.567512512207031 × 65536)
    floor (37192.5)     		tx = 37192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412986755371094 × 216)
    floor (0.412986755371094 × 65536)
    floor (27065.5)     		ty = 27065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37192 / 27065 ti = "16/37192/27065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37192/27065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37192 ÷ 216
    37192 ÷ 65536     		x = 0.5675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27065 ÷ 216
    27065 ÷ 65536     		y = 0.412979125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412979125976562 × 2 - 1) × π
    0.174041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.54676827706636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42414569} λ = 0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54676827706636))-π/2
    2×atan(1.7276606656734)-π/2
    2×1.04609792579127-π/2
    2.09219585158255-1.57079632675     		φ = 0.52139952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52139952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.873992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37192 KachelY 27065 0.42414569 0.52139952 24.301758 29.873992
    Oben rechts KachelX + 1 37193 KachelY 27065 0.42424156 0.52139952 24.307251 29.873992
    Unten links KachelX 37192 KachelY + 1 27066 0.42414569 0.52131639 24.301758 29.869229
    Unten rechts KachelX + 1 37193 KachelY + 1 27066 0.42424156 0.52131639 24.307251 29.869229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52139952-0.52131639) × R
    8.31300000000423e-05 × 6371000     		dl = 529.62123000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52139952-0.52131639) × R
    8.31300000000423e-05 × 6371000     		dr = 529.62123000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42414569-0.42424156) × cos(0.52139952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867122936334558 × 6371000     		do = 529.628084599625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42414569-0.42424156) × cos(0.52131639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86716433990762 × 6371000     		du = 529.653373395686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52139952)-sin(0.52131639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867122936334558-0.86716433990762)×R²
    abs(0.42424156-0.42414569)×4.14035730617046e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.14035730617046e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.14035730617046e-05×40589641000000     		ar = 280508.974511558m²