Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37191 / 45126
↖ ↑ ↗
← S 55.992237°
E 24.296264°		 ← 341.65 m → S 55.992237°
E 24.301758°		 →
↑
341.61 m
↓
↑
341.61 m
↓
S 55.995309°
E 24.296264°		 ← 341.63 m →
116 708 m²		 S 55.995309°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567497253417969 y=0.688575744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567497253417969 × 216)
    floor (0.567497253417969 × 65536)
    floor (37191.5)     		tx = 37191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688575744628906 × 216)
    floor (0.688575744628906 × 65536)
    floor (45126.5)     		ty = 45126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37191 / 45126 ti = "16/37191/45126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37191/45126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37191 ÷ 216
    37191 ÷ 65536     		x = 0.567489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45126 ÷ 216
    45126 ÷ 65536     		y = 0.688568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688568115234375 × 2 - 1) × π
    -0.37713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18480841100931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42404981} λ = 0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18480841100931))-π/2
    2×atan(0.30580476271242)-π/2
    2×0.296773720133967-π/2
    0.593547440267933-1.57079632675     		φ = -0.97724889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97724889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.992237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37191 KachelY 45126 0.42404981 -0.97724889 24.296264 -55.992237
    Oben rechts KachelX + 1 37192 KachelY 45126 0.42414569 -0.97724889 24.301758 -55.992237
    Unten links KachelX 37191 KachelY + 1 45127 0.42404981 -0.97730251 24.296264 -55.995309
    Unten rechts KachelX + 1 37192 KachelY + 1 45127 0.42414569 -0.97730251 24.301758 -55.995309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97724889--0.97730251) × R
    5.36199999999765e-05 × 6371000     		dl = 341.61301999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97724889--0.97730251) × R
    5.36199999999765e-05 × 6371000     		dr = 341.61301999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(-0.97724889) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.55930522556421 × 6371000     		do = 341.652424807606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(-0.97730251) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.559260775828524 × 6371000     		du = 341.625272620776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97724889)-sin(-0.97730251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55930522556421-0.559260775828524)×R²
    abs(0.42414569-0.42404981)×4.44497356862916e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44497356862916e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44497356862916e-05×40589641000000     		ar = 116708.278886643m²