Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37191 / 38573
↖ ↑ ↗
← S 30.358656°
E 24.296264°		 ← 527.09 m → S 30.358656°
E 24.301758°		 →
↑
527.07 m
↓
↑
527.07 m
↓
S 30.363396°
E 24.296264°		 ← 527.07 m →
277 808 m²		 S 30.363396°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567497253417969 y=0.588584899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567497253417969 × 216)
    floor (0.567497253417969 × 65536)
    floor (37191.5)     		tx = 37191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588584899902344 × 216)
    floor (0.588584899902344 × 65536)
    floor (38573.5)     		ty = 38573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37191 / 38573 ti = "16/37191/38573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37191/38573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37191 ÷ 216
    37191 ÷ 65536     		x = 0.567489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38573 ÷ 216
    38573 ÷ 65536     		y = 0.588577270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588577270507812 × 2 - 1) × π
    -0.177154541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.556547404588852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42404981} λ = 0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556547404588852))-π/2
    2×atan(0.573184626087566)-π/2
    2×0.520468907892071-π/2
    1.04093781578414-1.57079632675     		φ = -0.52985851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52985851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.358656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37191 KachelY 38573 0.42404981 -0.52985851 24.296264 -30.358656
    Oben rechts KachelX + 1 37192 KachelY 38573 0.42414569 -0.52985851 24.301758 -30.358656
    Unten links KachelX 37191 KachelY + 1 38574 0.42404981 -0.52994124 24.296264 -30.363396
    Unten rechts KachelX + 1 37192 KachelY + 1 38574 0.42414569 -0.52994124 24.301758 -30.363396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52985851--0.52994124) × R
    8.27300000000308e-05 × 6371000     		dl = 527.072830000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52985851--0.52994124) × R
    8.27300000000308e-05 × 6371000     		dr = 527.072830000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(-0.52985851) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.862878589790521 × 6371000     		do = 527.090663633812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(-0.52994124) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.86283677416435 × 6371000     		du = 527.065120496678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52985851)-sin(-0.52994124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862878589790521-0.86283677416435)×R²
    abs(0.42414569-0.42404981)×4.18156261710045e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.18156261710045e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.18156261710045e-05×40589641000000     		ar = 277808.436359563m²