Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37191 / 30013
↖ ↑ ↗
← N 14.960706°
E 24.296264°		 ← 590.15 m → N 14.960706°
E 24.301758°		 →
↑
590.08 m
↓
↑
590.08 m
↓
N 14.955399°
E 24.296264°		 ← 590.16 m →
348 239 m²		 N 14.955399°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567497253417969 y=0.457969665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567497253417969 × 216)
    floor (0.567497253417969 × 65536)
    floor (37191.5)     		tx = 37191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457969665527344 × 216)
    floor (0.457969665527344 × 65536)
    floor (30013.5)     		ty = 30013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37191 / 30013 ti = "16/37191/30013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37191/30013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37191 ÷ 216
    37191 ÷ 65536     		x = 0.567489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30013 ÷ 216
    30013 ÷ 65536     		y = 0.457962036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457962036132812 × 2 - 1) × π
    0.084075927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.264132316906509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42404981} λ = 0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.264132316906509))-π/2
    2×atan(1.30230050127489)-π/2
    2×0.91595495554822-π/2
    1.83190991109644-1.57079632675     		φ = 0.26111358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26111358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.960706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37191 KachelY 30013 0.42404981 0.26111358 24.296264 14.960706
    Oben rechts KachelX + 1 37192 KachelY 30013 0.42414569 0.26111358 24.301758 14.960706
    Unten links KachelX 37191 KachelY + 1 30014 0.42404981 0.26102096 24.296264 14.955399
    Unten rechts KachelX + 1 37192 KachelY + 1 30014 0.42414569 0.26102096 24.301758 14.955399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26111358-0.26102096) × R
    9.26199999999877e-05 × 6371000     		dl = 590.082019999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26111358-0.26102096) × R
    9.26199999999877e-05 × 6371000     		dr = 590.082019999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(0.26111358) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.966103099241787 × 6371000     		do = 590.145508004387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(0.26102096) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.966127005557094 × 6371000     		du = 590.160111212474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26111358)-sin(0.26102096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966103099241787-0.966127005557094)×R²
    abs(0.42414569-0.42404981)×2.39063153069097e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.39063153069097e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.39063153069097e-05×40589641000000     		ar = 348238.562251299m²