Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37191 / 26784
↖ ↑ ↗
← N 31.203405°
E 24.296264°		 ← 522.48 m → N 31.203405°
E 24.301758°		 →
↑
522.42 m
↓
↑
522.42 m
↓
N 31.198706°
E 24.296264°		 ← 522.51 m →
272 963 m²		 N 31.198706°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567497253417969 y=0.408699035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567497253417969 × 216)
    floor (0.567497253417969 × 65536)
    floor (37191.5)     		tx = 37191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408699035644531 × 216)
    floor (0.408699035644531 × 65536)
    floor (26784.5)     		ty = 26784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37191 / 26784 ti = "16/37191/26784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37191/26784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37191 ÷ 216
    37191 ÷ 65536     		x = 0.567489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26784 ÷ 216
    26784 ÷ 65536     		y = 0.40869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40869140625 × 2 - 1) × π
    0.1826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.573708814652832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42404981} λ = 0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573708814652832))-π/2
    2×atan(1.77483740276042)-π/2
    2×1.05769924050374-π/2
    2.11539848100748-1.57079632675     		φ = 0.54460215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54460215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.203405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37191 KachelY 26784 0.42404981 0.54460215 24.296264 31.203405
    Oben rechts KachelX + 1 37192 KachelY 26784 0.42414569 0.54460215 24.301758 31.203405
    Unten links KachelX 37191 KachelY + 1 26785 0.42404981 0.54452015 24.296264 31.198706
    Unten rechts KachelX + 1 37192 KachelY + 1 26785 0.42414569 0.54452015 24.301758 31.198706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54460215-0.54452015) × R
    8.20000000000265e-05 × 6371000     		dl = 522.422000000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54460215-0.54452015) × R
    8.20000000000265e-05 × 6371000     		dr = 522.422000000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(0.54460215) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.855333475735648 × 6371000     		do = 522.481719546624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(0.54452015) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.85537595524261 × 6371000     		du = 522.507668216322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54460215)-sin(0.54452015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855333475735648-0.85537595524261)×R²
    abs(0.42414569-0.42404981)×4.24795069627892e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24795069627892e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24795069627892e-05×40589641000000     		ar = 272962.723119806m²