Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37191 / 26715
↖ ↑ ↗
← N 31.527044°
E 24.296264°		 ← 520.69 m → N 31.527044°
E 24.301758°		 →
↑
520.64 m
↓
↑
520.64 m
↓
N 31.522362°
E 24.296264°		 ← 520.71 m →
271 096 m²		 N 31.522362°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567497253417969 y=0.407646179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567497253417969 × 216)
    floor (0.567497253417969 × 65536)
    floor (37191.5)     		tx = 37191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407646179199219 × 216)
    floor (0.407646179199219 × 65536)
    floor (26715.5)     		ty = 26715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37191 / 26715 ti = "16/37191/26715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37191/26715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37191 ÷ 216
    37191 ÷ 65536     		x = 0.567489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26715 ÷ 216
    26715 ÷ 65536     		y = 0.407638549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407638549804688 × 2 - 1) × π
    0.184722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.5803241068004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42404981} λ = 0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.5803241068004))-π/2
    2×atan(1.78661739176879)-π/2
    2×1.06052352334503-π/2
    2.12104704669006-1.57079632675     		φ = 0.55025072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55025072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.527044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37191 KachelY 26715 0.42404981 0.55025072 24.296264 31.527044
    Oben rechts KachelX + 1 37192 KachelY 26715 0.42414569 0.55025072 24.301758 31.527044
    Unten links KachelX 37191 KachelY + 1 26716 0.42404981 0.55016900 24.296264 31.522362
    Unten rechts KachelX + 1 37192 KachelY + 1 26716 0.42414569 0.55016900 24.301758 31.522362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55025072-0.55016900) × R
    8.17199999999518e-05 × 6371000     		dl = 520.638119999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55025072-0.55016900) × R
    8.17199999999518e-05 × 6371000     		dr = 520.638119999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(0.55025072) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.852393447123775 × 6371000     		do = 520.685798717819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(0.55016900) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.852436175743761 × 6371000     		du = 520.711899558576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55025072)-sin(0.55016900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852393447123775-0.852436175743761)×R²
    abs(0.42414569-0.42404981)×4.27286199858878e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.27286199858878e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.27286199858878e-05×40589641000000     		ar = 271095.670052497m²