Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37191 / 26567
↖ ↑ ↗
← N 32.217448°
E 24.296264°		 ← 516.80 m → N 32.217448°
E 24.301758°		 →
↑
516.75 m
↓
↑
516.75 m
↓
N 32.212801°
E 24.296264°		 ← 516.83 m →
267 064 m²		 N 32.212801°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567497253417969 y=0.405387878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567497253417969 × 216)
    floor (0.567497253417969 × 65536)
    floor (37191.5)     		tx = 37191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405387878417969 × 216)
    floor (0.405387878417969 × 65536)
    floor (26567.5)     		ty = 26567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37191 / 26567 ti = "16/37191/26567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37191/26567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37191 ÷ 216
    37191 ÷ 65536     		x = 0.567489624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26567 ÷ 216
    26567 ÷ 65536     		y = 0.405380249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567489624023438 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405380249023438 × 2 - 1) × π
    0.189239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.594513429087936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42404981} λ = 0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594513429087936))-π/2
    2×atan(1.81214899142354)-π/2
    2×1.06654844048593-π/2
    2.13309688097186-1.57079632675     		φ = 0.56230055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56230055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.217448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37191 KachelY 26567 0.42404981 0.56230055 24.296264 32.217448
    Oben rechts KachelX + 1 37192 KachelY 26567 0.42414569 0.56230055 24.301758 32.217448
    Unten links KachelX 37191 KachelY + 1 26568 0.42404981 0.56221944 24.296264 32.212801
    Unten rechts KachelX + 1 37192 KachelY + 1 26568 0.42414569 0.56221944 24.301758 32.212801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56230055-0.56221944) × R
    8.11099999999954e-05 × 6371000     		dl = 516.75180999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56230055-0.56221944) × R
    8.11099999999954e-05 × 6371000     		dr = 516.75180999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(0.56230055) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.846030849623033 × 6371000     		do = 516.799196617848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42404981-0.42414569) × cos(0.56221944) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.846074089334179 × 6371000     		du = 516.825609659396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56230055)-sin(0.56221944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846030849623033-0.846074089334179)×R²
    abs(0.42414569-0.42404981)×4.3239711145282e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3239711145282e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3239711145282e-05×40589641000000     		ar = 267063.744898675m²