Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37190 / 30398
↖ ↑ ↗
← N 12.908198°
E 24.290771°		 ← 595.35 m → N 12.908198°
E 24.296264°		 →
↑
595.37 m
↓
↑
595.37 m
↓
N 12.902844°
E 24.290771°		 ← 595.37 m →
354 459 m²		 N 12.902844°
E 24.296264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567481994628906 y=0.463844299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567481994628906 × 216)
    floor (0.567481994628906 × 65536)
    floor (37190.5)     		tx = 37190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463844299316406 × 216)
    floor (0.463844299316406 × 65536)
    floor (30398.5)     		ty = 30398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37190 / 30398 ti = "16/37190/30398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37190/30398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37190 ÷ 216
    37190 ÷ 65536     		x = 0.567474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30398 ÷ 216
    30398 ÷ 65536     		y = 0.463836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567474365234375 × 2 - 1) × π
    0.13494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42395394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463836669921875 × 2 - 1) × π
    0.07232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.227220904199066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42395394} λ = 0.42395394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227220904199066))-π/2
    2×atan(1.25510709574649)-π/2
    2×0.898043442139214-π/2
    1.79608688427843-1.57079632675     		φ = 0.22529056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42395394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.290771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22529056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.908198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37190 KachelY 30398 0.42395394 0.22529056 24.290771 12.908198
    Oben rechts KachelX + 1 37191 KachelY 30398 0.42404981 0.22529056 24.296264 12.908198
    Unten links KachelX 37190 KachelY + 1 30399 0.42395394 0.22519711 24.290771 12.902844
    Unten rechts KachelX + 1 37191 KachelY + 1 30399 0.42404981 0.22519711 24.296264 12.902844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22529056-0.22519711) × R
    9.34499999999949e-05 × 6371000     		dl = 595.369949999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22529056-0.22519711) × R
    9.34499999999949e-05 × 6371000     		dr = 595.369949999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42395394-0.42404981) × cos(0.22529056) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.974729240136723 × 6371000     		do = 595.352698937235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42395394-0.42404981) × cos(0.22519711) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.974750111637666 × 6371000     		du = 595.365446994753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22529056)-sin(0.22519711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974729240136723-0.974750111637666)×R²
    abs(0.42404981-0.42395394)×2.08715009432092e-05×R²
    9.58700000000534e-05×2.08715009432092e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×2.08715009432092e-05×40589641000000     		ar = 354458.901761735m²