Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37190 / 27063
↖ ↑ ↗
← N 29.883519°
E 24.290771°		 ← 529.58 m → N 29.883519°
E 24.296264°		 →
↑
529.62 m
↓
↑
529.62 m
↓
N 29.878756°
E 24.290771°		 ← 529.60 m →
280 482 m²		 N 29.878756°
E 24.296264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567481994628906 y=0.412956237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567481994628906 × 216)
    floor (0.567481994628906 × 65536)
    floor (37190.5)     		tx = 37190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412956237792969 × 216)
    floor (0.412956237792969 × 65536)
    floor (27063.5)     		ty = 27063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37190 / 27063 ti = "16/37190/27063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37190/27063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37190 ÷ 216
    37190 ÷ 65536     		x = 0.567474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27063 ÷ 216
    27063 ÷ 65536     		y = 0.412948608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567474365234375 × 2 - 1) × π
    0.13494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42395394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412948608398438 × 2 - 1) × π
    0.174102783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.546960024664841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42395394} λ = 0.42395394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.546960024664841))-π/2
    2×atan(1.72799197221963)-π/2
    2×1.04618105619109-π/2
    2.09236211238218-1.57079632675     		φ = 0.52156579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42395394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.290771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52156579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.883519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37190 KachelY 27063 0.42395394 0.52156579 24.290771 29.883519
    Oben rechts KachelX + 1 37191 KachelY 27063 0.42404981 0.52156579 24.296264 29.883519
    Unten links KachelX 37190 KachelY + 1 27064 0.42395394 0.52148266 24.290771 29.878756
    Unten rechts KachelX + 1 37191 KachelY + 1 27064 0.42404981 0.52148266 24.296264 29.878756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52156579-0.52148266) × R
    8.31300000000423e-05 × 6371000     		dl = 529.62123000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52156579-0.52148266) × R
    8.31300000000423e-05 × 6371000     		dr = 529.62123000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42395394-0.42404981) × cos(0.52156579) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.867040106229326 × 6371000     		do = 529.577492984668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42395394-0.42404981) × cos(0.52148266) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.867081521787497 × 6371000     		du = 529.602789101087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52156579)-sin(0.52148266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867040106229326-0.867081521787497)×R²
    abs(0.42404981-0.42395394)×4.14155581704989e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.14155581704989e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.14155581704989e-05×40589641000000     		ar = 280482.182056494m²