Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37190 / 26957
↖ ↑ ↗
← N 30.387092°
E 24.290771°		 ← 526.88 m → N 30.387092°
E 24.296264°		 →
↑
526.88 m
↓
↑
526.88 m
↓
N 30.382353°
E 24.290771°		 ← 526.91 m →
277 611 m²		 N 30.382353°
E 24.296264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567481994628906 y=0.411338806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567481994628906 × 216)
    floor (0.567481994628906 × 65536)
    floor (37190.5)     		tx = 37190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411338806152344 × 216)
    floor (0.411338806152344 × 65536)
    floor (26957.5)     		ty = 26957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37190 / 26957 ti = "16/37190/26957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37190/26957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37190 ÷ 216
    37190 ÷ 65536     		x = 0.567474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26957 ÷ 216
    26957 ÷ 65536     		y = 0.411331176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567474365234375 × 2 - 1) × π
    0.13494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42395394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411331176757812 × 2 - 1) × π
    0.177337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.557122647384293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42395394} λ = 0.42395394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557122647384293))-π/2
    2×atan(1.74564243829954)-π/2
    2×1.0505755651645-π/2
    2.101151130329-1.57079632675     		φ = 0.53035480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42395394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.290771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53035480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.387092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37190 KachelY 26957 0.42395394 0.53035480 24.290771 30.387092
    Oben rechts KachelX + 1 37191 KachelY 26957 0.42404981 0.53035480 24.296264 30.387092
    Unten links KachelX 37190 KachelY + 1 26958 0.42395394 0.53027210 24.290771 30.382353
    Unten rechts KachelX + 1 37191 KachelY + 1 26958 0.42404981 0.53027210 24.296264 30.382353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53035480-0.53027210) × R
    8.26999999999911e-05 × 6371000     		dl = 526.881699999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53035480-0.53027210) × R
    8.26999999999911e-05 × 6371000     		dr = 526.881699999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42395394-0.42404981) × cos(0.53035480) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.862627652982677 × 6371000     		do = 526.882420505916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42395394-0.42404981) × cos(0.53027210) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.862669482953885 × 6371000     		du = 526.90796974075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53035480)-sin(0.53027210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862627652982677-0.862669482953885)×R²
    abs(0.42404981-0.42395394)×4.18299712081627e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.18299712081627e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.18299712081627e-05×40589641000000     		ar = 277611.436286728m²