Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37190 / 26785
↖ ↑ ↗
← N 31.198706°
E 24.290771°		 ← 522.45 m → N 31.198706°
E 24.296264°		 →
↑
522.49 m
↓
↑
522.49 m
↓
N 31.194008°
E 24.290771°		 ← 522.48 m →
272 981 m²		 N 31.194008°
E 24.296264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567481994628906 y=0.408714294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567481994628906 × 216)
    floor (0.567481994628906 × 65536)
    floor (37190.5)     		tx = 37190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408714294433594 × 216)
    floor (0.408714294433594 × 65536)
    floor (26785.5)     		ty = 26785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37190 / 26785 ti = "16/37190/26785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37190/26785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37190 ÷ 216
    37190 ÷ 65536     		x = 0.567474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26785 ÷ 216
    26785 ÷ 65536     		y = 0.408706665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567474365234375 × 2 - 1) × π
    0.13494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42395394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408706665039062 × 2 - 1) × π
    0.182586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.573612940853592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42395394} λ = 0.42395394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573612940853592))-π/2
    2×atan(1.77466725051228)-π/2
    2×1.05765823745062-π/2
    2.11531647490124-1.57079632675     		φ = 0.54452015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42395394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.290771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54452015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.198706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37190 KachelY 26785 0.42395394 0.54452015 24.290771 31.198706
    Oben rechts KachelX + 1 37191 KachelY 26785 0.42404981 0.54452015 24.296264 31.198706
    Unten links KachelX 37190 KachelY + 1 26786 0.42395394 0.54443814 24.290771 31.194008
    Unten rechts KachelX + 1 37191 KachelY + 1 26786 0.42404981 0.54443814 24.296264 31.194008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54452015-0.54443814) × R
    8.20099999999657e-05 × 6371000     		dl = 522.485709999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54452015-0.54443814) × R
    8.20099999999657e-05 × 6371000     		dr = 522.485709999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42395394-0.42404981) × cos(0.54452015) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.85537595524261 × 6371000     		do = 522.453172214545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42395394-0.42404981) × cos(0.54443814) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.855418434177401 × 6371000     		du = 522.479117828398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54452015)-sin(0.54443814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85537595524261-0.855418434177401)×R²
    abs(0.42404981-0.42395394)×4.24789347903687e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.24789347903687e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.24789347903687e-05×40589641000000     		ar = 272981.094885397m²