Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37189 / 38721
↖ ↑ ↗
← S 31.057640°
E 24.285279°		 ← 523.23 m → S 31.057640°
E 24.290771°		 →
↑
523.25 m
↓
↑
523.25 m
↓
S 31.062345°
E 24.285279°		 ← 523.20 m →
273 774 m²		 S 31.062345°
E 24.290771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567466735839844 y=0.590843200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567466735839844 × 216)
    floor (0.567466735839844 × 65536)
    floor (37189.5)     		tx = 37189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590843200683594 × 216)
    floor (0.590843200683594 × 65536)
    floor (38721.5)     		ty = 38721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37189 / 38721 ti = "16/37189/38721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37189/38721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37189 ÷ 216
    37189 ÷ 65536     		x = 0.567459106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38721 ÷ 216
    38721 ÷ 65536     		y = 0.590835571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567459106445312 × 2 - 1) × π
    0.134918212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42385807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590835571289062 × 2 - 1) × π
    -0.181671142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.570736726876389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42385807} λ = 0.42385807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570736726876389))-π/2
    2×atan(0.565108954346012)-π/2
    2×0.51436912707691-π/2
    1.02873825415382-1.57079632675     		φ = -0.54205807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42385807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.285279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54205807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.057640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37189 KachelY 38721 0.42385807 -0.54205807 24.285279 -31.057640
    Oben rechts KachelX + 1 37190 KachelY 38721 0.42395394 -0.54205807 24.290771 -31.057640
    Unten links KachelX 37189 KachelY + 1 38722 0.42385807 -0.54214020 24.285279 -31.062345
    Unten rechts KachelX + 1 37190 KachelY + 1 38722 0.42395394 -0.54214020 24.290771 -31.062345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54205807--0.54214020) × R
    8.21300000000136e-05 × 6371000     		dl = 523.250230000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54205807--0.54214020) × R
    8.21300000000136e-05 × 6371000     		dr = 523.250230000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42385807-0.42395394) × cos(-0.54205807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856648737773301 × 6371000     		do = 523.230572217858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42385807-0.42395394) × cos(-0.54214020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856606364006803 × 6371000     		du = 523.204690839512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54205807)-sin(-0.54214020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856648737773301-0.856606364006803)×R²
    abs(0.42395394-0.42385807)×4.23737664980717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23737664980717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23737664980717e-05×40589641000000     		ar = 273773.746191556m²