Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37189 / 27076
↖ ↑ ↗
← N 29.821583°
E 24.285279°		 ← 529.91 m → N 29.821583°
E 24.290771°		 →
↑
529.94 m
↓
↑
529.94 m
↓
N 29.816817°
E 24.285279°		 ← 529.93 m →
280 825 m²		 N 29.816817°
E 24.290771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567466735839844 y=0.413154602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567466735839844 × 216)
    floor (0.567466735839844 × 65536)
    floor (37189.5)     		tx = 37189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413154602050781 × 216)
    floor (0.413154602050781 × 65536)
    floor (27076.5)     		ty = 27076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37189 / 27076 ti = "16/37189/27076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37189/27076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37189 ÷ 216
    37189 ÷ 65536     		x = 0.567459106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27076 ÷ 216
    27076 ÷ 65536     		y = 0.41314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567459106445312 × 2 - 1) × π
    0.134918212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42385807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41314697265625 × 2 - 1) × π
    0.1737060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.545713665274719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42385807} λ = 0.42385807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545713665274719))-π/2
    2×atan(1.72583961478308)-π/2
    2×1.04564056670562-π/2
    2.09128113341125-1.57079632675     		φ = 0.52048481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42385807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.285279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52048481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.821583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37189 KachelY 27076 0.42385807 0.52048481 24.285279 29.821583
    Oben rechts KachelX + 1 37190 KachelY 27076 0.42395394 0.52048481 24.290771 29.821583
    Unten links KachelX 37189 KachelY + 1 27077 0.42385807 0.52040163 24.285279 29.816817
    Unten rechts KachelX + 1 37190 KachelY + 1 27077 0.42395394 0.52040163 24.290771 29.816817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52048481-0.52040163) × R
    8.31800000000715e-05 × 6371000     		dl = 529.939780000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52048481-0.52040163) × R
    8.31800000000715e-05 × 6371000     		dr = 529.939780000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42385807-0.42395394) × cos(0.52048481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867578185241031 × 6371000     		do = 529.906145064005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42385807-0.42395394) × cos(0.52040163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867619547720748 × 6371000     		du = 529.931408760753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52048481)-sin(0.52040163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867578185241031-0.867619547720748)×R²
    abs(0.42395394-0.42385807)×4.13624797174217e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.13624797174217e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.13624797174217e-05×40589641000000     		ar = 280825.040216975m²