Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37188 / 30652
↖ ↑ ↗
← N 11.544617°
E 24.279785°		 ← 598.49 m → N 11.544617°
E 24.285279°		 →
↑
598.49 m
↓
↑
598.49 m
↓
N 11.539234°
E 24.279785°		 ← 598.50 m →
358 197 m²		 N 11.539234°
E 24.285279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567451477050781 y=0.467720031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567451477050781 × 216)
    floor (0.567451477050781 × 65536)
    floor (37188.5)     		tx = 37188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467720031738281 × 216)
    floor (0.467720031738281 × 65536)
    floor (30652.5)     		ty = 30652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37188 / 30652 ti = "16/37188/30652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37188/30652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37188 ÷ 216
    37188 ÷ 65536     		x = 0.56744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30652 ÷ 216
    30652 ÷ 65536     		y = 0.46771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46771240234375 × 2 - 1) × π
    0.0645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.202868959192078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42376219} λ = 0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202868959192078))-π/2
    2×atan(1.22491194427932)-π/2
    2×0.886143947478178-π/2
    1.77228789495636-1.57079632675     		φ = 0.20149157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20149157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.544617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37188 KachelY 30652 0.42376219 0.20149157 24.279785 11.544617
    Oben rechts KachelX + 1 37189 KachelY 30652 0.42385807 0.20149157 24.285279 11.544617
    Unten links KachelX 37188 KachelY + 1 30653 0.42376219 0.20139763 24.279785 11.539234
    Unten rechts KachelX + 1 37189 KachelY + 1 30653 0.42385807 0.20139763 24.285279 11.539234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20149157-0.20139763) × R
    9.39400000000146e-05 × 6371000     		dl = 598.491740000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20149157-0.20139763) × R
    9.39400000000146e-05 × 6371000     		dr = 598.491740000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42376219-0.42385807) × cos(0.20149157) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979769158520805 × 6371000     		do = 598.493440540743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42376219-0.42385807) × cos(0.20139763) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979787954498858 × 6371000     		du = 598.504922091754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20149157)-sin(0.20139763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979769158520805-0.979787954498858)×R²
    abs(0.42385807-0.42376219)×1.87959780525437e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.87959780525437e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.87959780525437e-05×40589641000000     		ar = 358196.816677958m²