Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37188 / 26972
↖ ↑ ↗
← N 30.315988°
E 24.279785°		 ← 527.32 m → N 30.315988°
E 24.285279°		 →
↑
527.26 m
↓
↑
527.26 m
↓
N 30.311246°
E 24.279785°		 ← 527.35 m →
278 044 m²		 N 30.311246°
E 24.285279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567451477050781 y=0.411567687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567451477050781 × 216)
    floor (0.567451477050781 × 65536)
    floor (37188.5)     		tx = 37188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411567687988281 × 216)
    floor (0.411567687988281 × 65536)
    floor (26972.5)     		ty = 26972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37188 / 26972 ti = "16/37188/26972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37188/26972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37188 ÷ 216
    37188 ÷ 65536     		x = 0.56744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26972 ÷ 216
    26972 ÷ 65536     		y = 0.41156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41156005859375 × 2 - 1) × π
    0.1768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.555684540395691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42376219} λ = 0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.555684540395691))-π/2
    2×atan(1.74313382197111)-π/2
    2×1.04995506423209-π/2
    2.09991012846418-1.57079632675     		φ = 0.52911380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52911380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.315988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37188 KachelY 26972 0.42376219 0.52911380 24.279785 30.315988
    Oben rechts KachelX + 1 37189 KachelY 26972 0.42385807 0.52911380 24.285279 30.315988
    Unten links KachelX 37188 KachelY + 1 26973 0.42376219 0.52903104 24.279785 30.311246
    Unten rechts KachelX + 1 37189 KachelY + 1 26973 0.42385807 0.52903104 24.285279 30.311246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52911380-0.52903104) × R
    8.27599999999595e-05 × 6371000     		dl = 527.263959999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52911380-0.52903104) × R
    8.27599999999595e-05 × 6371000     		dr = 527.263959999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42376219-0.42385807) × cos(0.52911380) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863254735300163 × 6371000     		do = 527.320432675072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42376219-0.42385807) × cos(0.52903104) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863296506986783 × 6371000     		du = 527.345948971666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52911380)-sin(0.52903104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863254735300163-0.863296506986783)×R²
    abs(0.42385807-0.42376219)×4.17716866200069e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.17716866200069e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.17716866200069e-05×40589641000000     		ar = 278043.786591696m²