Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37188 / 26827
↖ ↑ ↗
← N 31.001155°
E 24.279785°		 ← 523.60 m → N 31.001155°
E 24.285279°		 →
↑
523.57 m
↓
↑
523.57 m
↓
N 30.996446°
E 24.279785°		 ← 523.62 m →
274 145 m²		 N 30.996446°
E 24.285279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567451477050781 y=0.409355163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567451477050781 × 216)
    floor (0.567451477050781 × 65536)
    floor (37188.5)     		tx = 37188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409355163574219 × 216)
    floor (0.409355163574219 × 65536)
    floor (26827.5)     		ty = 26827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37188 / 26827 ti = "16/37188/26827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37188/26827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37188 ÷ 216
    37188 ÷ 65536     		x = 0.56744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26827 ÷ 216
    26827 ÷ 65536     		y = 0.409347534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409347534179688 × 2 - 1) × π
    0.181304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.569586241285507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42376219} λ = 0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569586241285507))-π/2
    2×atan(1.76753556687115)-π/2
    2×1.05593427251349-π/2
    2.11186854502697-1.57079632675     		φ = 0.54107222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54107222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.001155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37188 KachelY 26827 0.42376219 0.54107222 24.279785 31.001155
    Oben rechts KachelX + 1 37189 KachelY 26827 0.42385807 0.54107222 24.285279 31.001155
    Unten links KachelX 37188 KachelY + 1 26828 0.42376219 0.54099004 24.279785 30.996446
    Unten rechts KachelX + 1 37189 KachelY + 1 26828 0.42385807 0.54099004 24.285279 30.996446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54107222-0.54099004) × R
    8.21800000000428e-05 × 6371000     		dl = 523.568780000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54107222-0.54099004) × R
    8.21800000000428e-05 × 6371000     		dr = 523.568780000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42376219-0.42385807) × cos(0.54107222) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.85715692154168 × 6371000     		do = 523.595574115939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42376219-0.42385807) × cos(0.54099004) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.857199245895731 × 6371000     		du = 523.621428010251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54107222)-sin(0.54099004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85715692154168-0.857199245895731)×R²
    abs(0.42385807-0.42376219)×4.23243540518259e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23243540518259e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23243540518259e-05×40589641000000     		ar = 274145.064253806m²