Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37186 / 26564
↖ ↑ ↗
← N 32.231390°
E 24.268799°		 ← 516.67 m → N 32.231390°
E 24.274292°		 →
↑
516.69 m
↓
↑
516.69 m
↓
N 32.226743°
E 24.268799°		 ← 516.69 m →
266 962 m²		 N 32.226743°
E 24.274292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567420959472656 y=0.405342102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567420959472656 × 216)
    floor (0.567420959472656 × 65536)
    floor (37186.5)     		tx = 37186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405342102050781 × 216)
    floor (0.405342102050781 × 65536)
    floor (26564.5)     		ty = 26564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37186 / 26564 ti = "16/37186/26564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37186/26564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37186 ÷ 216
    37186 ÷ 65536     		x = 0.567413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26564 ÷ 216
    26564 ÷ 65536     		y = 0.40533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567413330078125 × 2 - 1) × π
    0.13482666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42357045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40533447265625 × 2 - 1) × π
    0.1893310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.594801050485657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42357045} λ = 0.42357045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594801050485657))-π/2
    2×atan(1.81267027921249)-π/2
    2×1.06667009944428-π/2
    2.13334019888855-1.57079632675     		φ = 0.56254387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42357045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.268799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56254387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.231390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37186 KachelY 26564 0.42357045 0.56254387 24.268799 32.231390
    Oben rechts KachelX + 1 37187 KachelY 26564 0.42366632 0.56254387 24.274292 32.231390
    Unten links KachelX 37186 KachelY + 1 26565 0.42357045 0.56246277 24.268799 32.226743
    Unten rechts KachelX + 1 37187 KachelY + 1 26565 0.42366632 0.56246277 24.274292 32.226743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56254387-0.56246277) × R
    8.10999999999451e-05 × 6371000     		dl = 516.68809999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56254387-0.56246277) × R
    8.10999999999451e-05 × 6371000     		dr = 516.68809999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42357045-0.42366632) × cos(0.56254387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845901102428764 × 6371000     		do = 516.666047992995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42357045-0.42366632) × cos(0.56246277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845944353503343 × 6371000     		du = 516.692465220387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56254387)-sin(0.56246277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845901102428764-0.845944353503343)×R²
    abs(0.42366632-0.42357045)×4.32510745785875e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32510745785875e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32510745785875e-05×40589641000000     		ar = 266962.023551661m²