Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37185 / 38723
↖ ↑ ↗
← S 31.067050°
E 24.263306°		 ← 523.23 m → S 31.067050°
E 24.268799°		 →
↑
523.19 m
↓
↑
523.19 m
↓
S 31.071756°
E 24.263306°		 ← 523.21 m →
273 742 m²		 S 31.071756°
E 24.268799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567405700683594 y=0.590873718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567405700683594 × 216)
    floor (0.567405700683594 × 65536)
    floor (37185.5)     		tx = 37185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590873718261719 × 216)
    floor (0.590873718261719 × 65536)
    floor (38723.5)     		ty = 38723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37185 / 38723 ti = "16/37185/38723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37185/38723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37185 ÷ 216
    37185 ÷ 65536     		x = 0.567398071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38723 ÷ 216
    38723 ÷ 65536     		y = 0.590866088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567398071289062 × 2 - 1) × π
    0.134796142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42347457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590866088867188 × 2 - 1) × π
    -0.181732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.570928474474869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42347457} λ = 0.42347457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570928474474869))-π/2
    2×atan(0.565000606449193)-π/2
    2×0.514287000970437-π/2
    1.02857400194087-1.57079632675     		φ = -0.54222232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42347457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.263306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54222232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.067050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37185 KachelY 38723 0.42347457 -0.54222232 24.263306 -31.067050
    Oben rechts KachelX + 1 37186 KachelY 38723 0.42357045 -0.54222232 24.268799 -31.067050
    Unten links KachelX 37185 KachelY + 1 38724 0.42347457 -0.54230444 24.263306 -31.071756
    Unten rechts KachelX + 1 37186 KachelY + 1 38724 0.42357045 -0.54230444 24.268799 -31.071756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54222232--0.54230444) × R
    8.21199999999633e-05 × 6371000     		dl = 523.186519999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54222232--0.54230444) × R
    8.21199999999633e-05 × 6371000     		dr = 523.186519999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42347457-0.42357045) × cos(-0.54222232) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856563989622615 × 6371000     		do = 523.233380775639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42347457-0.42357045) × cos(-0.54230444) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856521609462021 × 6371000     		du = 523.207492791817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54222232)-sin(-0.54230444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856563989622615-0.856521609462021)×R²
    abs(0.42357045-0.42347457)×4.23801605941021e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23801605941021e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23801605941021e-05×40589641000000     		ar = 273741.879667328m²