Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37184 / 26830
↖ ↑ ↗
← N 30.987028°
E 24.257813°		 ← 523.62 m → N 30.987028°
E 24.263306°		 →
↑
523.63 m
↓
↑
523.63 m
↓
N 30.982319°
E 24.257813°		 ← 523.64 m →
274 190 m²		 N 30.982319°
E 24.263306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567390441894531 y=0.409400939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567390441894531 × 216)
    floor (0.567390441894531 × 65536)
    floor (37184.5)     		tx = 37184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409400939941406 × 216)
    floor (0.409400939941406 × 65536)
    floor (26830.5)     		ty = 26830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37184 / 26830 ti = "16/37184/26830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37184/26830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37184 ÷ 216
    37184 ÷ 65536     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26830 ÷ 216
    26830 ÷ 65536     		y = 0.409393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409393310546875 × 2 - 1) × π
    0.18121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.569298619887787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569298619887787))-π/2
    2×atan(1.76702725892451)-π/2
    2×1.05581099504769-π/2
    2.11162199009538-1.57079632675     		φ = 0.54082566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54082566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.987028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37184 KachelY 26830 0.42337870 0.54082566 24.257813 30.987028
    Oben rechts KachelX + 1 37185 KachelY 26830 0.42347457 0.54082566 24.263306 30.987028
    Unten links KachelX 37184 KachelY + 1 26831 0.42337870 0.54074347 24.257813 30.982319
    Unten rechts KachelX + 1 37185 KachelY + 1 26831 0.42347457 0.54074347 24.263306 30.982319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54082566-0.54074347) × R
    8.2189999999982e-05 × 6371000     		dl = 523.632489999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54082566-0.54074347) × R
    8.2189999999982e-05 × 6371000     		dr = 523.632489999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42347457) × cos(0.54082566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857283887533009 × 6371000     		do = 523.618513923206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42347457) × cos(0.54074347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85732619966511 × 6371000     		du = 523.644357656016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54082566)-sin(0.54074347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857283887533009-0.85732619966511)×R²
    abs(0.42347457-0.42337870)×4.23121321007081e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23121321007081e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23121321007081e-05×40589641000000     		ar = 274190.432719309m²