Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37184 / 26797
↖ ↑ ↗
← N 31.142305°
E 24.257813°		 ← 522.76 m → N 31.142305°
E 24.263306°		 →
↑
522.80 m
↓
↑
522.80 m
↓
N 31.137603°
E 24.257813°		 ← 522.79 m →
273 310 m²		 N 31.137603°
E 24.263306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567390441894531 y=0.408897399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567390441894531 × 216)
    floor (0.567390441894531 × 65536)
    floor (37184.5)     		tx = 37184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408897399902344 × 216)
    floor (0.408897399902344 × 65536)
    floor (26797.5)     		ty = 26797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37184 / 26797 ti = "16/37184/26797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37184/26797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37184 ÷ 216
    37184 ÷ 65536     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26797 ÷ 216
    26797 ÷ 65536     		y = 0.408889770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408889770507812 × 2 - 1) × π
    0.182220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.572462455262711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.572462455262711))-π/2
    2×atan(1.77262669545163)-π/2
    2×1.05716604202394-π/2
    2.11433208404788-1.57079632675     		φ = 0.54353576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54353576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.142305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37184 KachelY 26797 0.42337870 0.54353576 24.257813 31.142305
    Oben rechts KachelX + 1 37185 KachelY 26797 0.42347457 0.54353576 24.263306 31.142305
    Unten links KachelX 37184 KachelY + 1 26798 0.42337870 0.54345370 24.257813 31.137603
    Unten rechts KachelX + 1 37185 KachelY + 1 26798 0.42347457 0.54345370 24.263306 31.137603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54353576-0.54345370) × R
    8.20599999999949e-05 × 6371000     		dl = 522.804259999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54353576-0.54345370) × R
    8.20599999999949e-05 × 6371000     		dr = 522.804259999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42347457) × cos(0.54353576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.855885462318354 × 6371000     		do = 522.764372904835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42347457) × cos(0.54345370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85592789803127 × 6371000     		du = 522.790292119295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54353576)-sin(0.54345370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855885462318354-0.85592789803127)×R²
    abs(0.42347457-0.42337870)×4.24357129155117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24357129155117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24357129155117e-05×40589641000000     		ar = 273310.216622468m²