Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37183 / 30378
↖ ↑ ↗
← N 13.015262°
E 24.252319°		 ← 595.16 m → N 13.015262°
E 24.257813°		 →
↑
595.18 m
↓
↑
595.18 m
↓
N 13.009910°
E 24.252319°		 ← 595.17 m →
354 230 m²		 N 13.009910°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567375183105469 y=0.463539123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567375183105469 × 216)
    floor (0.567375183105469 × 65536)
    floor (37183.5)     		tx = 37183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463539123535156 × 216)
    floor (0.463539123535156 × 65536)
    floor (30378.5)     		ty = 30378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37183 / 30378 ti = "16/37183/30378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37183/30378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37183 ÷ 216
    37183 ÷ 65536     		x = 0.567367553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30378 ÷ 216
    30378 ÷ 65536     		y = 0.463531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567367553710938 × 2 - 1) × π
    0.134735107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42328282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463531494140625 × 2 - 1) × π
    0.07293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.229138380183868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42328282} λ = 0.42328282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.229138380183868))-π/2
    2×atan(1.25751604227141)-π/2
    2×0.898977751433421-π/2
    1.79795550286684-1.57079632675     		φ = 0.22715918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42328282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.252319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22715918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.015262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37183 KachelY 30378 0.42328282 0.22715918 24.252319 13.015262
    Oben rechts KachelX + 1 37184 KachelY 30378 0.42337870 0.22715918 24.257813 13.015262
    Unten links KachelX 37183 KachelY + 1 30379 0.42328282 0.22706576 24.252319 13.009910
    Unten rechts KachelX + 1 37184 KachelY + 1 30379 0.42337870 0.22706576 24.257813 13.009910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22715918-0.22706576) × R
    9.3419999999983e-05 × 6371000     		dl = 595.178819999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22715918-0.22706576) × R
    9.3419999999983e-05 × 6371000     		dr = 595.178819999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42328282-0.42337870) × cos(0.22715918) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974310108375679 × 6371000     		do = 595.158771680198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42328282-0.42337870) × cos(0.22706576) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974331143298015 × 6371000     		du = 595.171620893639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22715918)-sin(0.22706576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974310108375679-0.974331143298015)×R²
    abs(0.42337870-0.42328282)×2.10349223356276e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.10349223356276e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.10349223356276e-05×40589641000000     		ar = 354229.719488633m²